Esistenza della primitiva nel piano complesso
Buongiorno a tutti
avrei una domanda da farvi riguardo il teorema di esistenza della primitiva nel piano complesso. Le condizioni affinchè una funzione f(z) abbia una funzione primitiva è che f(z) deve essere definita in un dominio aperto e connesso? Quindi l'analicità di una funzione è solo una condizione aggiuntiva?
Cioè sul libro non da alcuna dimostrazione perchè la enuncia come una definizione
why?

Cioè sul libro non da alcuna dimostrazione perchè la enuncia come una definizione

Risposte
Nel caso in cui si riferisse al teorema fondamentale del calcolo integrale , se è possibile una sua generalizzazione nel piano complesso (pensando alla nozione di derivabilità e integrabilità sul piano complesso : funzioni olomorfe e meromorfe , direi di si ) , penso che i caso analoghi del teorema fondamentale del calcolo sono :
1)il teorema integrale di Cauchy
2) e il teorema dei residui
...prova a dargli un'occhiata .
p.s. : aspetta pareri più competenti
1)il teorema integrale di Cauchy
2) e il teorema dei residui
...prova a dargli un'occhiata .


p.s. : aspetta pareri più competenti
"Nick_93":
Buongiorno a tuttiavrei una domanda da farvi riguardo il teorema di esistenza della primitiva nel piano complesso. Le condizioni affinchè una funzione f(z) abbia una funzione primitiva è che f(z) deve essere definita in un dominio aperto e connesso? Quindi l'analicità di una funzione è solo una condizione aggiuntiva?
Ricordo che se una funzione è analitica (quindi olomorfa dato che nel piano complesso sono sinonimi), allora ammette anche una primitiva.
Nei complessi, infatti, molte di quelle conoscenze che si hanno dell'analisi reale (sembra che) vanno a farsi friggere: c'è tutta una collezione di teoremi più o meno grandi e più o meno corollari che portano ai seguenti risultati nel campo complessi
- se una funzione è derivabile una volta, lo è infinite volte, dunque una funzione olomorfa - cioè derivabile in senso complesso - equivale a $C^\infty$ in senso reale
- se una funzione è olomorfa è anche analitica e viceversa
- se una funzione è analitica, ammette una primitiva (ricordo che c'erano almeno 4-5 teoremi che sembravano tutti uguali anche se qualcuno parla di primitiva locale, altri di eguaglianza tra primitive...)
Per quanto ne so, dunque, la condizione di analiticità è indispensabile.
"Nick_93":
Cioè sul libro non da alcuna dimostrazione perchè la enuncia come una definizionewhy?
Per curiosità, che libro è?
(Non tanto per me che ho solo l'Ahlfors e il Nenvallinna-Paatero, ma magari altri utenti ne hanno molti di testi e possono aiutarti a chiarire meglio il dubbio...)

EDIT.
Per quanto riguarda l'analiticità, c'è questa voce di gugopedia che vale più di molti testi...!
Più che libro sono delle dispense del mio corso. Comunque credo di esserci! In pratica negli appunti dimostra l'esistenza della primitiva dimostrando che:
- Se f ha primitiva in D allora $\int_{\gamma}f(z) dz=0$ per ogni curva regolare a tratti contenuta in D e viceversa. Quindi è inplicita la condizione di analiticità
- Se f ha primitiva in D allora $\int_{\gamma}f(z) dz=0$ per ogni curva regolare a tratti contenuta in D e viceversa. Quindi è inplicita la condizione di analiticità