Esistenza della primitiva nel piano complesso

[Nick_931]

Buongiorno a tutti avrei una domanda da farvi riguardo il teorema di esistenza della primitiva nel piano complesso. Le condizioni affinchè una funzione f(z) abbia una funzione primitiva è che f(z) deve essere definita in un dominio aperto e connesso? Quindi l'analicità di una funzione è solo una condizione aggiuntiva?

Cioè sul libro non da alcuna dimostrazione perchè la enuncia come una definizione why?

[Stellinelm]

Nel caso in cui si riferisse al teorema fondamentale del calcolo integrale , se è possibile una sua generalizzazione nel piano complesso (pensando alla nozione di derivabilità e integrabilità sul piano complesso : funzioni olomorfe e meromorfe , direi di si ) , penso che i caso analoghi del teorema fondamentale del calcolo sono :
1)il teorema integrale di Cauchy
2) e il teorema dei residui
...prova a dargli un'occhiata .


p.s. : aspetta pareri più competenti

[Zero87]

"Nick_93":Buongiorno a tutti avrei una domanda da farvi riguardo il teorema di esistenza della primitiva nel piano complesso. Le condizioni affinchè una funzione f(z) abbia una funzione primitiva è che f(z) deve essere definita in un dominio aperto e connesso? Quindi l'analicità di una funzione è solo una condizione aggiuntiva?

Ricordo che se una funzione è analitica (quindi olomorfa dato che nel piano complesso sono sinonimi), allora ammette anche una primitiva.
Nei complessi, infatti, molte di quelle conoscenze che si hanno dell'analisi reale (sembra che) vanno a farsi friggere: c'è tutta una collezione di teoremi più o meno grandi e più o meno corollari che portano ai seguenti risultati nel campo complessi
- se una funzione è derivabile una volta, lo è infinite volte, dunque una funzione olomorfa - cioè derivabile in senso complesso - equivale a $C^\infty$ in senso reale
- se una funzione è olomorfa è anche analitica e viceversa
- se una funzione è analitica, ammette una primitiva (ricordo che c'erano almeno 4-5 teoremi che sembravano tutti uguali anche se qualcuno parla di primitiva locale, altri di eguaglianza tra primitive...)

Per quanto ne so, dunque, la condizione di analiticità è indispensabile.

"Nick_93":Cioè sul libro non da alcuna dimostrazione perchè la enuncia come una definizione why?

Per curiosità, che libro è?
(Non tanto per me che ho solo l'Ahlfors e il Nenvallinna-Paatero, ma magari altri utenti ne hanno molti di testi e possono aiutarti a chiarire meglio il dubbio...)


EDIT.
Per quanto riguarda l'analiticità, c'è questa voce di gugopedia che vale più di molti testi...!

[Nick_931]

Più che libro sono delle dispense del mio corso. Comunque credo di esserci! In pratica negli appunti dimostra l'esistenza della primitiva dimostrando che:
- Se f ha primitiva in D allora $\int_{\gamma}f(z) dz=0$ per ogni curva regolare a tratti contenuta in D e viceversa. Quindi è inplicita la condizione di analiticità