Esistenza costante di Lipschitz per funzioni reali.
Salve ragazzi, ho provato di dimostrare questo piccolo teoremino :
Supponiamo che $f : A sube RR -> RR$ sia lipschtziana. Allora l'insieme $L= { m \in RR | AA x,y \in A t.c |f(y)-f(x)| <= m |x-y|}$ ha minimo.
In buona sostanza si ha da mostrare che esiste la più piccola costante di lipchtz. Ho ragionato al seguente modo.
Per ipotesi $f$ è di Lipschtz allora sicuramente $L$ è non vuoto. Inoltre $L sube RR$ pertanto esiste $K = \i$$nf L $ . (1)
Per caratterizzazione (dell'estremo inferiore) si ha che
$\forall \epsilon >0 , \forall n \in NN$ $EE x_n \in L$ tale che $ ( K - \epsilon < ) x_n < K + \epsilon$ (2).
Notiamo che la successione ${x_n} -> K$. (3)
Poiché gli $x_n \in L => AA n \in NN : |f(y)-f(x) | <= x_n | x-y| $ (4). Sfruttando (3) e (4) , in particolare il teorema della permanenza delle diseguaglianze e il fatto che ${x_n}$ ammette limite , abbiamo che
$|f(x)-f(y) | <= K | x-y | $, cioè $K \in L$ (5).
Da (1) e (5) la tesi.
Che ne pensate? Ho preso strafalcioni? Grazie mille
.
Edit : Sono una frana con i nomi.. Grazie Rigel per la correzione = D
Supponiamo che $f : A sube RR -> RR$ sia lipschtziana. Allora l'insieme $L= { m \in RR | AA x,y \in A t.c |f(y)-f(x)| <= m |x-y|}$ ha minimo.
In buona sostanza si ha da mostrare che esiste la più piccola costante di lipchtz. Ho ragionato al seguente modo.
Per ipotesi $f$ è di Lipschtz allora sicuramente $L$ è non vuoto. Inoltre $L sube RR$ pertanto esiste $K = \i$$nf L $ . (1)
Per caratterizzazione (dell'estremo inferiore) si ha che
$\forall \epsilon >0 , \forall n \in NN$ $EE x_n \in L$ tale che $ ( K - \epsilon < ) x_n < K + \epsilon$ (2).
Notiamo che la successione ${x_n} -> K$. (3)
Poiché gli $x_n \in L => AA n \in NN : |f(y)-f(x) | <= x_n | x-y| $ (4). Sfruttando (3) e (4) , in particolare il teorema della permanenza delle diseguaglianze e il fatto che ${x_n}$ ammette limite , abbiamo che
$|f(x)-f(y) | <= K | x-y | $, cioè $K \in L$ (5).
Da (1) e (5) la tesi.
Che ne pensate? Ho preso strafalcioni? Grazie mille
.Edit : Sono una frana con i nomi.. Grazie Rigel per la correzione = D
Risposte
L'idea è corretta (anche se non è scritta benissimo; ad esempio, non si capisce a cosa serva l'\(\epsilon\) che hai introdotto).
Più semplicemente puoi osservare che \(L\) è una semiretta destra, tale che
\[
(K, +\infty) \subseteq L \subseteq [K,+\infty).
\]
In particolare, per ogni \(\epsilon > 0\) hai che \(K+\epsilon \in L\), dunque
\[
|f(x) - f(y)| \leq (K+\epsilon) |x-y|\qquad \forall x,y.
\]
Adesso, usando l'arbitrarietà di \(\epsilon\), puoi concludere come hai già osservato prima.
P.S.: il povero disgraziato si chiama Rudolf Otto Sigismund Lipschitz.
Più semplicemente puoi osservare che \(L\) è una semiretta destra, tale che
\[
(K, +\infty) \subseteq L \subseteq [K,+\infty).
\]
In particolare, per ogni \(\epsilon > 0\) hai che \(K+\epsilon \in L\), dunque
\[
|f(x) - f(y)| \leq (K+\epsilon) |x-y|\qquad \forall x,y.
\]
Adesso, usando l'arbitrarietà di \(\epsilon\), puoi concludere come hai già osservato prima.
P.S.: il povero disgraziato si chiama Rudolf Otto Sigismund Lipschitz.
Pardon, mi spiego meglio. In effetti non si capisce bene.
Allora, poniamo ad esempio $\epsilon = 1/(n+1)$, da (2) si ottiene che $0<= | x_n - K | < (1/(n+1)) $, per il teorema della convergenza obbligata deduciamo che $x_n -K-> 0 => x_n -> K$. (in quanto incastrata tra due successioni infinitesime).
Il resto prosegue come ho scritto.
Che ne dici? Va meglio così? :/
(Non posseggo la nozione di "semiretta destra", il tuo modo di ragionare non lo comprendo appieno)
Grazie mille Rigel!
Allora, poniamo ad esempio $\epsilon = 1/(n+1)$, da (2) si ottiene che $0<= | x_n - K | < (1/(n+1)) $, per il teorema della convergenza obbligata deduciamo che $x_n -K-> 0 => x_n -> K$. (in quanto incastrata tra due successioni infinitesime).
Il resto prosegue come ho scritto.
Che ne dici? Va meglio così? :/
(Non posseggo la nozione di "semiretta destra", il tuo modo di ragionare non lo comprendo appieno)
Grazie mille Rigel!
Una semiretta destra è semplicemente un intervallo illimitato superiormente ma limitato inferiormente, cioè del tipo
\[
(K, +\infty)\quad \text{(semiretta destra aperta)}\quad
\text{oppure}\quad
[K, +\infty)\quad \text{(semiretta destra chiusa)}.
\]
Va bene anche come hai fatto tu.
\[
(K, +\infty)\quad \text{(semiretta destra aperta)}\quad
\text{oppure}\quad
[K, +\infty)\quad \text{(semiretta destra chiusa)}.
\]
Va bene anche come hai fatto tu.
Grazie Rigel ^^
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo