Esiste una condizione necessaria per i prodotti infiniti?
Salve a tutti! Stavo studiando il limite
$$\lim_{n\to+\infty} \prod_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k+1}$$
E ho dimostrato che il limite è $0$; mi è venuto spontaneo chiedermi se, come per le serie, esistesse una condizione necessaria di convergenza anche per i prodotti infiniti. Grazie in anticipo
$$\lim_{n\to+\infty} \prod_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k+1}$$
E ho dimostrato che il limite è $0$; mi è venuto spontaneo chiedermi se, come per le serie, esistesse una condizione necessaria di convergenza anche per i prodotti infiniti. Grazie in anticipo
Risposte
Ciao Mephlip,
Sì, esiste. Possiamo osservare preliminarmente che si ha:
$log \prod_{k = m}^n a_k= \sum_{k = m}^n log a_k $
Quindi naturalmente per $n \to +\infty $ il prodotto converge se converge la serie a secondo membro.
Per mantenere la condizione necessaria delle serie anche sui prodotti si considera
$\prod_{k = m}^{+\infty} (1 + a_k) $
sicché in tal caso la condizione necessaria di convergenza rimane $\lim_{k \to +\infty} a_k = 0 $
Sì, esiste. Possiamo osservare preliminarmente che si ha:
$log \prod_{k = m}^n a_k= \sum_{k = m}^n log a_k $
Quindi naturalmente per $n \to +\infty $ il prodotto converge se converge la serie a secondo membro.
Per mantenere la condizione necessaria delle serie anche sui prodotti si considera
$\prod_{k = m}^{+\infty} (1 + a_k) $
sicché in tal caso la condizione necessaria di convergenza rimane $\lim_{k \to +\infty} a_k = 0 $
La condizione è che l'argomento tenda a uno.
se [size=90]$p_n = prod_(i=0)^(n)a_i -> P inRRsetminus{0}$[/size]
allora [size=90]$lim_(n->+infty) a_n=lim_(n->+infty) (p_n) /(p_(n-1))=(lim_(n->+infty) p_n)/(lim_(n->+infty) p_(n-1))=P/P=1$[/size]
Invece possono convergere a zero anche se il termine nkn va ad uno infatti
se [size=90]$p_n = prod_(i=0)^(n)a_i -> P inRRsetminus{0}$[/size]
allora [size=90]$lim_(n->+infty) a_n=lim_(n->+infty) (p_n) /(p_(n-1))=(lim_(n->+infty) p_n)/(lim_(n->+infty) p_(n-1))=P/P=1$[/size]
Invece possono convergere a zero anche se il termine nkn va ad uno infatti
$prod_(n=1)^(+infty)1/n =0$
"anto_zoolander":
Invece possono convergere a zero anche se il termine non va ad uno infatti
$prod_(n=1)^(+infty)1/n =0$
È vero, carina questa osservazione.
Grazie a tutti per le risposte!
Immagino che
$$\prod_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}=0$$
Perché
$$0\leq \prod_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}=\exp \left(\ln\left(\prod_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} \right)\right)=\exp\left(-\sum_{n=1}^{+\infty} \ln n\right)$$
Essendo la serie all'esponente dell'esponenziale divergente, per il teorema dei due carabinieri tutto collassa a zero (che poi è sostanzialmente la stessa strategia che si usa per dimostrare che il limite è $0$ anche nell'esempio che ho proposto nel messaggio iniziale, unito al fatto che $\ln(1+x) -1$).
Immagino che
$$\prod_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}=0$$
Perché
$$0\leq \prod_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}=\exp \left(\ln\left(\prod_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} \right)\right)=\exp\left(-\sum_{n=1}^{+\infty} \ln n\right)$$
Essendo la serie all'esponente dell'esponenziale divergente, per il teorema dei due carabinieri tutto collassa a zero (che poi è sostanzialmente la stessa strategia che si usa per dimostrare che il limite è $0$ anche nell'esempio che ho proposto nel messaggio iniziale, unito al fatto che $\ln(1+x)
@peppe
Grazie
@mep
Semplicemente perché $p_n=1/(n!)->0$
Grazie
@mep
Semplicemente perché $p_n=1/(n!)->0$
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