Esercizo sulla convergenza debole ad una distribuzione

[baldo891]

questo esercizio è stato dato all'esame di metodi matematici a ferrara qualche anno fa, nessuno è stato capace di risolverlo.(non possiedo la soluzione).
si dimostri che la successione di funzioni $yn(t)=1/(t-i/n)$ converge debolmente alla distribuzione $v.p 1/x+i\pi\delta(t)$
io sono solo riuscito a iniziarlo. per prima cosa ho riscritto la funzione di partenza dividendo parte immaginari da quella reale
$yn(t)=t/(t^2+1/n)+i(1/(nt^2+1))$ considero per il momento solo la parte immaginaria , la convergenza debole implica che il limite per n che tende ad infinito
di $|\pi\delta(t)-1/(1+nt^2)|=0$ ho provato a fare i conti ma non arrivo da nessuna parte .come fareste voi?

[gugo82]

Mmm... Mi sa che ti sei perso qualcosa.

Infatti se non sbaglio è:

[tex]$y_n(t) = \frac{1}{t-\frac{\imath}{n}} = \frac{n}{nt-\imath} = \frac{n (nt+\imath)}{n^2t^2+1}=\frac{n^2t}{n^2t^2 +1} +\imath\ \frac{n}{n^2t^2+1}$[/tex],

che, ad occhio, è una forma algebrica diversa dalla tua.

Per risolvere l'esercizio, per quanto riguarda la convergenza alla [tex]$\pi \delta$[/tex] di [tex]$\text{Im} (y_n)$[/tex], credo basti verificare che la parte immaginaria di [tex]$y_n$[/tex] soddisfi il seguente criterio di convergenza:

Sia [tex]$(u_n)$[/tex] una successione di funzioni di [tex]$L_{loc}^1 (\mathbb{R})$[/tex].
Se sono verificate le seguenti condizioni:

i. per ogni [tex]$M>0$[/tex], esiste [tex]$C(M)\geq0$[/tex] tale che per ogni [tex]$a
ii. per ogni [tex]$a
[tex]$\lim_n \int_a^b u_n(t)\ \text{d} t =\begin{cases} 1 &\text{, se $a<0
allora si ha [tex]$u_n \stackrel{\mathcal{D}^\prime}{\to} \delta$[/tex].

con le modifiche del caso (in particolare, bisogna aggiungere un po' [tex]$\pi$[/tex] qui e là).

Invece, per la convergenza a [tex]$\text{VP} (\tfrac{1}{t})$[/tex] di [tex]$\text{Re} (y_n)$[/tex], mi sa che devi fare un po' di conti usando la definizione di [tex]$\text{VP} (\tfrac{1}{t})$[/tex].

Tuttavia non ho fatto esplicitamente i conti, quindi prova un po' da solo e poi ne parliamo.

[baldo891]

devo integrare rispetto ad $n$ non rispetto $t$?$a$ e $b$ sono estremi qualunque?

[gugo82]

"baldo89":devo integrare rispetto ad $n$ non rispetto $t$?$a$ e $b$ sono estremi qualunque?

Ma come rispetto ad [tex]$n$[/tex]... Da quando in qua si integra rispetto all'indice della successione?

Gli integrali sono tutti fatti rispetto a [tex]$t$[/tex] (ho tralasciato di scriverlo perchè pensavo fosse evidente... Ma ora lo specifico); ed [tex]$a,b$[/tex] c'è scritto chi sono, basta leggere con attenzione.

Inoltre, nota che nel caso in esame le [tex]$u_n$[/tex] sono addirittura [tex]$L^1(\mathbb{R})$[/tex] e che esse formano una successione limitata in norma; quindi la successione [tex]\int_{-\infty}^{+\infty} |u_n(t)|\ \text{d} t[/tex] è limitata, il che implica che gli integrali in i si maggiorano tutti con una stessa costante [tex]$C$[/tex] indipendente da [tex]$M$[/tex].

[baldo891]

ok, grazie poi provo.Mi stavo chiedendo se la convergenza implica la convergenza debole perchè,in questo caso particolare è facile dimostrare che la successione di funzione $n/(n^2t^2+1)$ converge a $\pi\delta$?Scusa se le mie domande sono un po' stupide ma questi argomenti di analisi funzionale li abbiamo solo sfiorati(fare in un trimestre un programma che va dai numeri complessi alla teoria spettrale degli operatori infinitodimensionali è dura)