Esercizo "Rolle"
Salve, ho dei dubbi sul seguente esercizio...
Sia
$f: [-1,1] \to RR$ definita da $f(x)=|x|sqrt(|x|)$
la funzione verifica l'ipotesi di Rolle? se ciò avviene determinare $\alpha in ]-1,1[$ tale che $f'(alpha)=0$
La funzione è continua e assume lo stesso valore in -1 e 1;
Non sono sicuro su come dimostrare la derivabilità della funzione in x=0...
io ho pensato di fare cosi:
divido la funzione nei due rami $\{(xsqrtx),(-xsqrt(-x)) :}$ a seconda se x>0 o x<0
trovo il limite destro e sinistro del rapporto incrementale per x->0 , che a me risulta zero per entrambi...
$lim_(h->0^+)(f(x+h)-f(x))/h$ = $lim_(h->0^+)(hsqrth/h)=0$
$lim_(h->0^-)(f(x+h)-f(x))/h$ = $lim_(h->0^-)(-hsqrt(-h)/h)=0$
quindi la funzione è derivabile e per $alpha = 0$ risulta che $f'(alpha)=0$ .
è giusto?
Ringrazio in anticipo chiunque voglia aiutarmi.
Sia
$f: [-1,1] \to RR$ definita da $f(x)=|x|sqrt(|x|)$
la funzione verifica l'ipotesi di Rolle? se ciò avviene determinare $\alpha in ]-1,1[$ tale che $f'(alpha)=0$
La funzione è continua e assume lo stesso valore in -1 e 1;
Non sono sicuro su come dimostrare la derivabilità della funzione in x=0...
io ho pensato di fare cosi:
divido la funzione nei due rami $\{(xsqrtx),(-xsqrt(-x)) :}$ a seconda se x>0 o x<0
trovo il limite destro e sinistro del rapporto incrementale per x->0 , che a me risulta zero per entrambi...
$lim_(h->0^+)(f(x+h)-f(x))/h$ = $lim_(h->0^+)(hsqrth/h)=0$
$lim_(h->0^-)(f(x+h)-f(x))/h$ = $lim_(h->0^-)(-hsqrt(-h)/h)=0$
quindi la funzione è derivabile e per $alpha = 0$ risulta che $f'(alpha)=0$ .
è giusto?
Ringrazio in anticipo chiunque voglia aiutarmi.
Risposte
Direi che è giusto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo