[Esercizio]Successione di funzioni

[lucia88]

Ciao a tutti,
ho la seguente successione di f:
$f_n(x)=n^(-1-x)$
Devo studiare la conv puntuale e uniforme in (0,1).

se non sbaglio la conv. puntuale:

$f_n(x) ->f(x)=\{(1 ,x=-1),(0, x > -1):}$

Poi se l'intervallo fosse stato chiuso avrei potuto dire che siccome le funzioni della successione sono continue e il limite puntuale è discontinuo non ci può essere conv.uniforme, però ho un aperto quindi pensavo di applicare la definizione:

$AA\epsilon>0, EE\nu : AAn> \nu, AAx\in(0,1): |1/n^(x+1)|<\epsilon$

quindi se non ho sbagliato i conti: $n>\nu=1/\epsilon^(x+1)$ che dipende da x
Ma sul libro c'è scritto che deve conv. uniformemente in quell'intervallo, che cosa sbaglio?

[Rigel1]

Nell'intervallo assegnato hai già visto che la successione converge puntualmente alla funzione \(f\) identicamente nulla.
Per vedere se la convergenza è uniforme devi calcolare
\[
\sup_{x\in (0,1)} |f_n(x) - f(x)| = \sup_{x\in(0,1)} \frac{1}{n^{1+x}} = \frac{1}{n}\to 0,
\]
dunque la convergenza è uniforme in \((0,1)\).