[Esercizio]Serie di potenze

[lucia88]

Ciao a tutti,
devo determinare l'insieme di convergenza della serie di potenze e poi, sia $s(x)$ la somma, calcolare $s''(0)$:

$sum_{n=0}^(oo) x^(2n+1)/(2n+1)$

ho effettuato ''un cambio di variabili'' : $k=n+1$:

$sum_{k=1}^(oo) x^(2k-1)/(2k-1)=(1/x)sum_{k=1}^(oo) (x^(2))^k/(2k-1)=(1/x)sum_{k=1}^(oo) t^(k)/(2k-1)$

che è la serie di fourier di centro $x_0=0$ e coefficiente $a_k=1/(2k-1)$:
per il criterio di D'Alambert il raggio di convergenza è $R=1$
quindi si ha conv. puntuale (e assoluta) per $x\in(-1,1)$
in $x=\pm1$ : $(\pm1)sum_{n=0}^(oo) 1/(2n+1)$ che diverge (per confronto con la serie armonica) : però sul libro è scritto che converge invece!)

e poi ho un po' di problemi a calcolare $s''(0)$: ho usato il teorema di derivazione per serie (per cui posso scambiare serie e derivata), ho derivato due volte ma non riesco a ricondurmi a nessuna serie ''nota''

[stormy1]

in 1 e -1 non converge per il motivo che hai detto tu
osserviamo che
$ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+.......$
$ln(1-x)=-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4+.......$
è facile ora vedere che la somma della serie data è $1/2ln((1+x)/(1-x))$

[21zuclo]

scusate se mi intrometto..ma pure io devo fare le serie di potenze (sono nel mio programma di Analisi 2)

a me la risoluzione dell'utente Lucia..mi pareva corretta..

quindi è esatto che per $x=\pm 1$ non converge..esatto?..

però convergerà in un $a\in (0.1)$..grazie ad un teorema che ora non ricordo il nome..mi sembra di Abel..se non è quello è per convergenza delle serie di potenze..

ma detto questo,...è esatto dire che non converge agli estremi dell'intervallo?..