Esercizio:radice di un numero complesso

[angeloferrari]

ciao a tutti, non riesco a portare a termine un' esercizio, so che sono molto lunghi ma mancano solo i passaggi finali ,vi posto l'esercizio e i miei passaggi fino al punto in cui sono arrivato, se qualcuno è così gentile da aiutarmi grazie in anticipo!

$z^6+(2i-sqrt[3])z^3-1-sqrt[3] i=0$

pongo $z^3=u$ e ottengo $u^2+(2i-sqrt[3])u-1-sqrt[3]i=0$

$u=(sqrt[3]-2i+sqrt[(2i-sqrt[3])^2-4(-1-sqrt[3]i)])/2$ da cui $u=(sqrt[3]-2i+sqrt[-4+3-sqrt[3]i+4+sqrt[3]i])/2$

da cui $u_1=(sqrt[3]-2i+sqrt[3])/2 =sqrt[3]-i$ e
$u_2=(sqrt[3]-2i-sqrt[3])/2=-i$

ho ottenuto quindi $z^3= -i$ e $sqrt[3]-i$ , vorrei sapere come posso ora risolverlo in termini di $z^6$

[gio73]

"angeloferrari":

$z^6+(2i-sqrt[3])z^3-1-sqrt[3] i=0$

pongo $z^3=u$ e ottengo $u^2+(2i-sqrt[3])u-1-sqrt[3]i=0$

$u=(sqrt[3]-2i+sqrt[(2i-sqrt[3])^2-4(-1-sqrt[3]i)])/2$ da cui $u=(sqrt[3]-2i+sqrt[-4+3-sqrt[3]i+4+sqrt[3]i])/2$

da cui $u_1=(sqrt[3]-2i+sqrt[3])/2 =sqrt[3-i]$ e
$u_2=(sqrt[3]-2i-sqrt[3])/2=-i$

ho ottenuto quindi $z^3= -i$ e $sqrt[3-i]$ , vorrei sapere come posso ora risolverlo in termini di $z^6$

Ciao Angelo e benvenuto sul forum,
non mi torna un passaggio, magari sbaglio io ma perchè

$u_1=sqrt(3-1)$ e non $u_1=-i+sqrt3$?

[21zuclo]

"angeloferrari":ciao a tutti, non riesco a portare a termine un' esercizio, so che sono molto lunghi ma mancano solo i passaggi finali ,vi posto l'esercizio e i miei passaggi fino al punto in cui sono arrivato, se qualcuno è così gentile da aiutarmi grazie in anticipo!

$z^6+(2i-sqrt[3])z^3-1-sqrt[3] i=0$

pongo $z^3=u$ e ottengo $u^2+(2i-sqrt[3])u-1-sqrt[3]i=0$

$u=(sqrt[3]-2i+sqrt[(2i-sqrt[3])^2-4(-1-sqrt[3]i)])/2$ da cui $u=(sqrt[3]-2i+sqrt[-4+3-sqrt[3]i+4+sqrt[3]i])/2$

da cui $u_1=(sqrt[3]-2i+sqrt[3])/2 =sqrt[3-i]$ e
$u_2=(sqrt[3]-2i-sqrt[3])/2=-i$

ho ottenuto quindi $z^3= -i$ e $sqrt[3-i]$ , vorrei sapere come posso ora risolverlo in termini di $z^6$

non ho guardato i calcoli, ma mi sembra che tu abbia fatto giusto

hai posto già all'inizio la sostituzione $z^3=u$ e poi l'hai sostituita nell'equazione e poi ti sei trovato le tue soluzioni $z_0=u_0$ e $z_1=u_1$

e sono da sostituire in $z^3=u$

perchè devi risoverla con $z^6$. L'esercizio è concluso! non vedo il problema!

[gio73]

Ciao 21zuclo, i numeri complessi sono la tua passione?
Piacciono anche a me, ma ne so poco seguirò questo 3d sperando di imparare qualcosa. Sui conti mi è sembrato di notare una svista (l'ho segnalato nel post sopra il tuo), puoi controllare?
Riguardo il chiarimento che mi hai chiesto via PM, cercherò di spiegarti quello che so nell'area pubblica: così se dico stupidaggini qualcuno mi correggerà.

[angeloferrari]

a giò73,hai ragione si,sono iscritto da poco e non sono molto bravo col latex , provo a editare, grazie della segnalazione

[angeloferrari]

"21zuclo":[quote="angeloferrari"]ciao a tutti, non riesco a portare a termine un' esercizio, so che sono molto lunghi ma mancano solo i passaggi finali ,vi posto l'esercizio e i miei passaggi fino al punto in cui sono arrivato, se qualcuno è così gentile da aiutarmi grazie in anticipo!

$z^6+(2i-sqrt[3])z^3-1-sqrt[3] i=0$

pongo $z^3=u$ e ottengo $u^2+(2i-sqrt[3])u-1-sqrt[3]i=0$

$u=(sqrt[3]-2i+sqrt[(2i-sqrt[3])^2-4(-1-sqrt[3]i)])/2$ da cui $u=(sqrt[3]-2i+sqrt[-4+3-sqrt[3]i+4+sqrt[3]i])/2$

da cui $u_1=(sqrt[3]-2i+sqrt[3])/2 =sqrt[3-i]$ e
$u_2=(sqrt[3]-2i-sqrt[3])/2=-i$

ho ottenuto quindi $z^3= -i$ e $sqrt[3-i]$ , vorrei sapere come posso ora risolverlo in termini di $z^6$

non ho guardato i calcoli, ma mi sembra che tu abbia fatto giusto

hai posto già all'inizio la sostituzione $z^3=u$ e poi l'hai sostituita nell'equazione e poi ti sei trovato le tue soluzioni $z_0=u_0$ e $z_1=u_1$

e sono da sostituire in $z^3=u$

perchè devi risoverla con $z^6$. L'esercizio è concluso! non vedo il problema![/quote]


a 21zuclo , quindi praticamente devo solo mettere $u_0$ e $u_1$ nella mia equazione iniziale al posto di $z^3$ e mettere $u_0^2$ e $u_1^2$ al posto di $z^6$ e fare quelle equazioni? non devo utilizzare nessuna rappresentazione trigonometrica e cose così? scusa tanto ma sono da ottobre che non tocco queste equazioni e non ricordo granché del poco che avevo capito a suo tempo

[21zuclo]

tu hai fatto questa sostituzione z^3=u che poi ti sei ricondotto ad un'equazione di secondo grado in $u$

le soluzione che hai trovato ammettiamo che siano $u_0$ e $u_1$

ora le devi soltando sostituire nella tua sostituzione iniziale $z^3=u_0$ e $z^3=u_1$

e risolvere le 2 equazioni

tipo hai $z^3=-i$ e $z^3=\sqrt{3}-i$

devi risolvere le 2 equazioni, puoi ridurle in forma esponenziale e ti ritrovi la formula delle radici di un numero complesso!

$\rho^{1/n}\exp(i((\theta+2k\pi)/(n)))$ con $k=0,1,2,.....,n-1$

[angeloferrari]

ok! grazie dell'aiuto, ora è abbastanza chiaro, risolvo e poi vedo se mi è venuto!