Esercizio(quiz) su convergenza uniforme
$ ((2+cos(nx))*e^-(nx))/(n^2(1+3*n*x^2) $
Le risposte sono:
Converge uniformemente su R
Non converge uniformemente su alcun intervallo
converge uniformemente su ogni intervallo [-k,k] k>0
converge uniformemente su [0,infinito]
parto dal presupposto che forse non ho ben chiaro il concetto di convergenza uniforme, da quel che ho capito, al livello di concettto, se converge uniformemente vuol dire che quella funzione, per tutti i valori di x converge.
Quindi partendo da questo principio ho maggiorato
$ <=3/(e^(nx)*n^2) $
Poi ho cominciato ad analizzare l'intervallo 0,infinito. Essendo decrescente allora il sup è nello 0 quindi diventa $ 3/n^2 $ che converge.
La risposta giusta era effettivamente questa ma qualcosa non mi convince. Prima di tutto leggendo qualcosa sulle dispense che mi hanno dato, il metodo che ho usato ho scoperto che serve per capire la convergenza totale, quindi intanto non capisco dove ho confuso i due tipi di convergenza, e poi a questo punto non saprei in un esercizio del genere, come faccio a capire se converge uniformemente o meno, nel caso in cui non ci sia convergenza totale.
Spero di essermi spiegato bene, grazie mille
Le risposte sono:
Converge uniformemente su R
Non converge uniformemente su alcun intervallo
converge uniformemente su ogni intervallo [-k,k] k>0
converge uniformemente su [0,infinito]
parto dal presupposto che forse non ho ben chiaro il concetto di convergenza uniforme, da quel che ho capito, al livello di concettto, se converge uniformemente vuol dire che quella funzione, per tutti i valori di x converge.
Quindi partendo da questo principio ho maggiorato
$ <=3/(e^(nx)*n^2) $
Poi ho cominciato ad analizzare l'intervallo 0,infinito. Essendo decrescente allora il sup è nello 0 quindi diventa $ 3/n^2 $ che converge.
La risposta giusta era effettivamente questa ma qualcosa non mi convince. Prima di tutto leggendo qualcosa sulle dispense che mi hanno dato, il metodo che ho usato ho scoperto che serve per capire la convergenza totale, quindi intanto non capisco dove ho confuso i due tipi di convergenza, e poi a questo punto non saprei in un esercizio del genere, come faccio a capire se converge uniformemente o meno, nel caso in cui non ci sia convergenza totale.
Spero di essermi spiegato bene, grazie mille
Risposte
"Bonobopower":
parto dal presupposto che forse non ho ben chiaro il concetto di convergenza uniforme, da quel che ho capito, al livello di concettto, se converge uniformemente vuol dire che quella funzione, per tutti i valori di x converge.
Se la successione converge per tutti i valori di $x$ (si chiama convergenza puntuale) non è affatto detto che ci sia convergenza uniforme. Viceversa la convergenza uniforme implica quella puntuale.
La successione dell'esercizio non converge puntualmente per $x < 0$ e quindi puoi già escludere le opzioni 1 e 3. Per mostrare che converge uniformemente in $[0, + \infty[$ devi mostrare che
\[ \sup_{x \in [0,+\infty[} | f_n(x) - 0 | \to 0 \;.\]
Questo è vero, infatti
\[ \sup_{x \in [0,+\infty[} | f_n(x) | \le \frac{3}{n^2} \to 0 \;.\]
Osserva che questa non è la convergenza totale (non stiamo trattando una serie).
Ho riguardato le definizioni di convergenza puntuale e uniforme e mi stavo confondendo un pochino.
In realtà è una serie, ma mi ero dimenticato di mettere la sommatoria, e non capisco perchè nel caso in cui non lo fosse il concetto di convergenza totale non potrebbe essere applicato..
Volevo anche chiederti se avevi sottratto lo 0 \[ \sup_{x \in [0,+\infty[} | f_n(x) - 0 | \to 0 \;. \] perchè il limite da 0 a infinito tende a 0 per ogni x.
E infine volevo chiedere una cosa su questo esempio (successione di funzioni) $ (nx^2+3)/(2nx^2+5) $
Su di questo vorrei farti alcune domande anche non direttamente collegate all'esercizio:
Non sapendo ancora di non poter applicare il concetto di convergenza totale, ho maggiorato $ <=(nx^2)/(2nx^2+5) $ e dedotto che per qualsiasi x, essendo decrescente questa era uguale ad 1/5 (max in x=0). La domanda è, nel caso in cui fosse una serie, adesso arriverei a dire che non converge totalmente perché è una sommatoria infinita di 1/5?
Grazie ancora
In realtà è una serie, ma mi ero dimenticato di mettere la sommatoria, e non capisco perchè nel caso in cui non lo fosse il concetto di convergenza totale non potrebbe essere applicato..
Volevo anche chiederti se avevi sottratto lo 0 \[ \sup_{x \in [0,+\infty[} | f_n(x) - 0 | \to 0 \;. \] perchè il limite da 0 a infinito tende a 0 per ogni x.
E infine volevo chiedere una cosa su questo esempio (successione di funzioni) $ (nx^2+3)/(2nx^2+5) $
Su di questo vorrei farti alcune domande anche non direttamente collegate all'esercizio:
Non sapendo ancora di non poter applicare il concetto di convergenza totale, ho maggiorato $ <=(nx^2)/(2nx^2+5) $ e dedotto che per qualsiasi x, essendo decrescente questa era uguale ad 1/5 (max in x=0). La domanda è, nel caso in cui fosse una serie, adesso arriverei a dire che non converge totalmente perché è una sommatoria infinita di 1/5?
Grazie ancora
Nessuno che sa rispondere alla mia domanda? 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo