Esercizio:distanze in spazi metrici

[lucia88]

Ciao a tutti,
sono alle prese con un esercizio sugli spazi metrici:

Sia (X,d) uno spazio metrico. Dimostrare che è una distanza su X la funzione:

$D(x,y)=(d(x,y))/(1+d(x,y))$



affinchè sia una distanza deve soddisfare le seguenti prop:
1) $D(x,y)>=0 $ sempre
$D(x,y)=0 <=>y=x$
2)$D(x,y)=D(y,x)$
3)$D(x,y)<=D(x,z)+D(y,z)$

Ovviamente per ipotesi so che valgono per $d(x,y)$

Dimostrare 1) e 2) è banale (o almeno credo, io ho semplicemente fatto derivare queste due prop da 1) e 2) di d(x,y))

Nella dimostrazione della disuguaglianza triangolare ho qualche problema:
$D(x,y)<=D(x,z)+D(y,z)$ <=> $(d(x,y))/(1+d(x,y))<= (d(x,z))/(1+d(x,z)) + (d(z,y))/(1+d(z,y)) $

Ho analizzato prima i casi banali:
-se x=y è sempre vera ($0<=0$), anche se x=z o y=z è sempre vera

Quindi ho provato a dimostrare la disuguaglianza in vari modi ma non sono arrivata da nessuna parte.Voi potete darmi qualche suggerimento per dimostrare la disuguaglianza?

[totissimus]

Poniamo:

$a=d(x,z),b=d(y,z),c=d(x,y)$

Per la disuguaglianza triangolare :

$c\leq a+b$

Poniamo:

$u=D(x,z)=\frac{a}{1+a},v=D(y,z)=\frac{b}{1+b},w=D(x,y)=\frac{c}{1+c}$

Risulta :

$0\leq u,v,w <1$

e

$a=\frac{u}{1-u}.b=\frac{v}{1-v},c=\frac{w}{1-w}$

Sostituendo nella prima disuguaglianza:

$0\leq a+b-c=\frac{u}{1-u}+\frac{v}{1-v}-\frac{w}{1-w}$

Eliminando i denominatori:

$0\leq u(1-v)(1-w)+v(1-u)(1-w)-w(1-u)(1-v)=u+v-w+uv(w-2)\leq u+v-w$

[lucia88]

grazie