Esercizio(3)

[òneiros1]

Continuo a ringraziarti "goblyn" per il prezioso aiuto

Considerati la funzione numerica di due variabili e l'insieme

si chiede:
grafico che rappresenti Dk;
integrale di f su Dk;

Grazie!

[goblyn]

Il dominio è il seguente:



Cominciamo a porre f in coordinate polari (r,t):

f(r,t)= r^(-6/5) * cos(t)*[sin(t)]^(-1/5)

Va integrata in r*dr*dt. L'integranda è quindi:

r^(-1/5) * cos(t)*[sin(t)]^(-1/5)

Ora occupiamoci degli estremi d'integrazione.
r va da k a 1, come puoi vedere dal grafico.
t va dall'angolo alfa (quello formato dall'asse x e dal raggio spiccato dall'origine e terminante nell'estremo dx del dominio) a pi/2

Quanto vale alfa?

alfa= arcsin(k).

Fissato un angolo t r va da k/sin(t) a 1.

Integriamo allora prima in dr (omettiamo per ora i termini dipendenti da t):

INT [k/sin(t) ; 1] r^(-1/5) dr =

= (5/4)* [ 1 - (k/sin(t))^(4/5) ]

ora sostituiamo il risultato nell'integrale originale (moltiplicando ovviamente per i termini in t); la funzione integranda è:

(5/4) * cos(t) * [ (sin(t))^(-1/5) - k^(4/5) / sin(t) ]

Integrata, dà:

(25/16)*(sin(t))^(4/5) - (5/4)*k^(4/5) * log(|sin(t)|)

Sostituiamo gl estremi (arcsin(k) e pi/2):

(5/4) * k^(4/5) * [5/4 - log(k)] - 25/16

sempre se non ho sbagliato i conti...

ciao!

[òneiros1]

Perdonami ma al Dk ho dimenticato (0

Grazie!