Esercizio vero o falso
ciao a tutti non riesco a risolvere questo esercizio:
se $f(x) > 0$ in (a,b) e $sqrt(f(a)) = sqrt(f(b))$ esiste $c ∈ (a,b)$ tale che $f′(c) = 0$
Vero o falso?
Grazie mille a tutti
se $f(x) > 0$ in (a,b) e $sqrt(f(a)) = sqrt(f(b))$ esiste $c ∈ (a,b)$ tale che $f′(c) = 0$
Vero o falso?
Grazie mille a tutti
Risposte
Prova ad applicare il teorema di Rolle a questa funzione $g(x)=\sqrt{f(x)}$ e vedi cosa salta fuori.
Ciao,scusami ma ail nostro prof non so per quale strano motivo alcune cose le salta però le da come esercizi(e sopratutto all'esame) per cui mi stavo studiando questo teorema che dice che se una funzione è derivabile in $(a,b)$ e $f(a)=f(b)$ allora esiste almeno un punto $c$ in $[a,b]$ tale che $f'(c)=0$"
solo che non riesco ad applicarlo a quello che dici tu
solo che non riesco ad applicarlo a quello che dici tu
Quello è il teorema di Rolle! Al posto della funzione $f$ che hai scritto, mettici la funzione $g$: soddisfa le condizioni del teorema di Rolle? Per cui, se le soddisfa, cosa puoi concludere?
Scusate se mi intrometto, ma penso che certi professori siano pazzi a dare come esercizio il teorema di Rolle, oppure vi sono costretti per mancanza di tempo perché i corsi sono troppo brevi, è uno dei guai della riforma 3+2, ma qui ci vorrebbe un topic a parte, per cui smetto se no vado OT.
Tornando al topic di Matematicamenteparlando, bisogna stare attenti alle ipotesi del teorema, la funzione deve essere continua nell'intervallo chiuso $[a,b]$ (nella dimostrazione di usa Weiestrass), se non è continua in $[a,b]$ la tesi è falsa, non basta che sia derivabile in $(a,b)$, è facile trovare un controesempio.
Nel caso particolare di $sqrt(f(a))=sqrt(f(b))$, poiché la funzione radice è iniettiva, questo comporta $f(a)=f(b)$, e quindi siamo nelle ipotesi del teorema di Rolle, ma il resto va verificato, $f(x)$ deve essere continua in $[a,b]$.
Come consiglio a Matematicamenteparlando: guardati il teorema di Rolle su un libro di Analisi I, quale che sia, tanto è una cosa standard, è uno dei teoremi base di Analisi I, guarda su un libro quali sono questi teoremi-base (Rolle, Weiestrass, Fermat.., nel capitolo dopo le derivate), anche solo i titoli, per orientarti, guadagni tempo e salute, poi torni agli esercizi e a quello che ti si dice sul forum.
Tornando al topic di Matematicamenteparlando, bisogna stare attenti alle ipotesi del teorema, la funzione deve essere continua nell'intervallo chiuso $[a,b]$ (nella dimostrazione di usa Weiestrass), se non è continua in $[a,b]$ la tesi è falsa, non basta che sia derivabile in $(a,b)$, è facile trovare un controesempio.
Nel caso particolare di $sqrt(f(a))=sqrt(f(b))$, poiché la funzione radice è iniettiva, questo comporta $f(a)=f(b)$, e quindi siamo nelle ipotesi del teorema di Rolle, ma il resto va verificato, $f(x)$ deve essere continua in $[a,b]$.
Come consiglio a Matematicamenteparlando: guardati il teorema di Rolle su un libro di Analisi I, quale che sia, tanto è una cosa standard, è uno dei teoremi base di Analisi I, guarda su un libro quali sono questi teoremi-base (Rolle, Weiestrass, Fermat.., nel capitolo dopo le derivate), anche solo i titoli, per orientarti, guadagni tempo e salute, poi torni agli esercizi e a quello che ti si dice sul forum.
Era appunto quello che intendevo gabriella: nella domanda iniziale non vengono poste ipotesi sulla regolarità di $f$ e (al di là della bontà con cui ha scritto l'enunciato del Teorema matematicamenteparlando), una semplice applicazione dello stesso potrebbe suggeire come comportarsi in questo caso.
Certo certo, io dicevo quelle cose perché mi sembrava di capire che il professore aveva dato l'esercizio senza spiegare a lezione il teorema di Rolle, cosa che mi sembra confusiva, queste cose vanno studiate in maniera sistematica su un libro o su una dispensa esauriente, era per evitare, se è così come ho capito, a Matematicamenteparlando di confondersi le idee facendo questi teoremi spezzettati in esercizi.
Voglio dire un'ovvietà, benissimo fare gli esercizi, ma al contempo studiare la teoria relativa, ho l'impressione che alle volte i professori, forse per mancanza di tempo, danno come esercizio a casa anche teoremi importanti, senza parlarne a lezione, e lo studente agli inizi si confonde.
Voglio dire un'ovvietà, benissimo fare gli esercizi, ma al contempo studiare la teoria relativa, ho l'impressione che alle volte i professori, forse per mancanza di tempo, danno come esercizio a casa anche teoremi importanti, senza parlarne a lezione, e lo studente agli inizi si confonde.
Ciao a tutti,per prima cosa vi ringrazio per la vostra attenzione e disponibilità. Per seconda cosa ho pensato di risolvere l'esercizio( non so se è un metodo giusto chiedo a voi) usando un altro Teorema visto che quello di Rolle il prof non l'ha spiegato, che è quello di Lagrange.
Siccome $f(a)$ deve essere uguale a $f(b)$ per via dell'iniettività della radice vuol dire che la retta che unisce il punto $f(a)$ e $f(b)$ è parallela all'asse x , di conseguenza ha derivata nulla, e quindi ci dovrà essere almeno un punto c in $[a;b]$ tale che $f'(c)=0$.
Va bene come ragionamento non usando il teorema di rolle?
Siccome $f(a)$ deve essere uguale a $f(b)$ per via dell'iniettività della radice vuol dire che la retta che unisce il punto $f(a)$ e $f(b)$ è parallela all'asse x , di conseguenza ha derivata nulla, e quindi ci dovrà essere almeno un punto c in $[a;b]$ tale che $f'(c)=0$.
Va bene come ragionamento non usando il teorema di rolle?
Sì va bene come idea, anzi è ingegnosa, però le ipotesi che la $f$ deve soddisfare nel teorema di Lagrange sono le stesse del teorema di Rolle, cioè la funzione deve essere continua sull'intervallo chiuso $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$. Quindi se nell'esercizio che ti viene dato queste ipotesi non ci sono non puoi ricavare la tua tesi.
Se il testo dell'esercizio è esattamente quello che hai scritto all'inizio, la risposta è:' falso' (non c'è l'ipotesi di continuità in $[a,b]$).
D'altra parte il teorema di Lagrange è, per così dire, il teorema di Rolle 'storto', in cui cioè la retta che congiunge $f(a)$ e $f(b)$ non è parallela all'asse $x$, la sua dimostrazione non è altro che una applicazione del teorema di Rolle ad una opportuna funzione, si può dire in definitiva che sono lo stesso teorema.
Ripeto, mi stupisce che il professore abbia fatto Lagrange a lezione e non Rolle, visto Lagrange è una conseguenza di Rolle.
Visto che tu le capacità di gestire queste cose mi sembra che ce le hai, ti ripeto ancora, scusa se sembro la prof noiosa (e non sono prof, eh?), ti consiglio di studiarti in modo sistematico questi teoremi su un libro, così risolvi i tuoi problemi e non perdi tempo nei dubbi, sono tre teoremi fondamentali: Fermat, Rolle, Lagrange (oltre al teorema fondamentalissimo di Weiestrass che dovresti avere fatto).
Dal teorema di Lagrange, ad esempio, discendono i criteri per stabilire se una funzione è crescente o decrescente guardando la derivata, uno degli strumenti più importanti nello studio di funzioni, oltre il teorema di Fermat (quello che dice che nei punti di massimo e minimo relativo la derivata è nulla).
Se il testo dell'esercizio è esattamente quello che hai scritto all'inizio, la risposta è:' falso' (non c'è l'ipotesi di continuità in $[a,b]$).
D'altra parte il teorema di Lagrange è, per così dire, il teorema di Rolle 'storto', in cui cioè la retta che congiunge $f(a)$ e $f(b)$ non è parallela all'asse $x$, la sua dimostrazione non è altro che una applicazione del teorema di Rolle ad una opportuna funzione, si può dire in definitiva che sono lo stesso teorema.
Ripeto, mi stupisce che il professore abbia fatto Lagrange a lezione e non Rolle, visto Lagrange è una conseguenza di Rolle.
Visto che tu le capacità di gestire queste cose mi sembra che ce le hai, ti ripeto ancora, scusa se sembro la prof noiosa (e non sono prof, eh?), ti consiglio di studiarti in modo sistematico questi teoremi su un libro, così risolvi i tuoi problemi e non perdi tempo nei dubbi, sono tre teoremi fondamentali: Fermat, Rolle, Lagrange (oltre al teorema fondamentalissimo di Weiestrass che dovresti avere fatto).
Dal teorema di Lagrange, ad esempio, discendono i criteri per stabilire se una funzione è crescente o decrescente guardando la derivata, uno degli strumenti più importanti nello studio di funzioni, oltre il teorema di Fermat (quello che dice che nei punti di massimo e minimo relativo la derivata è nulla).
"gabriella127":
... visto Lagrange è una conseguenza di Rolle. ...
Dipende dai punti di vista ...
Il teorema di Lagrange è una generalizzazione del teorema di Rolle, quindi, di solito, viene fatto dopo.
Però è anche vero che il teorema di Rolle è un caso particolare del teorema di Lagrange, quindi si può benissimo partire da quest'ultimo e lasciare l'altro come esercizio: non è così "folle" come sembra ...
Da studente avrei preferito il primo metodo, però rivisto anni dopo preferirei il secondo ...
Senza dimenticare che la metodologia "giusta" è un qualcosa di opinabile ...
Cordialmente, Alex
Hai perfettamente ragione Alex, sono cose opinabili, quello che contesto non è fare prima l'uno o l'altro, ma non fare mai una trattazione sistematica, come mi sembra che alle volte avviene, ad esempio fare il teorema di Lagrange a lezione e non fare mai il teorema di Rolle, relegandolo tra gli esercizi, così gli studenti non capiscono che è importante.
Va bene anche lasciare le cose per esercizio, ma bisogna dare indicazioni chiare e forti e mettere ordine, dire (squillo di tromba!): Questo esercizio è un teorema fondamentale, il teorema di Rolle, se no lo studente non capisce cosa è un risultato fondamentale e cosa è un esercizio secondario.
D'altra parte o uno fa Lagrange senza dimostrazione (non mi sembra ipotesi felice) o fa Rolle.
E quando si fanno le cose spezzettate e senza uno schema ordinato e sistematico, non solo la comprensione, ma anche la memoria non viene affatto aiutata.
E mi riferisco a corsi di laurea non di matematica, per matematica vedo con difficoltà una trattazione diversa da quella tradizionale.
In conclusione, se non si dà importanza alle dimostrazioni, va bene pure cambiare ordine, se si devono fare le dimostrazioni cambiare ordine mi sembra un papocchio.
Va bene anche lasciare le cose per esercizio, ma bisogna dare indicazioni chiare e forti e mettere ordine, dire (squillo di tromba!): Questo esercizio è un teorema fondamentale, il teorema di Rolle, se no lo studente non capisce cosa è un risultato fondamentale e cosa è un esercizio secondario.
D'altra parte o uno fa Lagrange senza dimostrazione (non mi sembra ipotesi felice) o fa Rolle.
E quando si fanno le cose spezzettate e senza uno schema ordinato e sistematico, non solo la comprensione, ma anche la memoria non viene affatto aiutata.
E mi riferisco a corsi di laurea non di matematica, per matematica vedo con difficoltà una trattazione diversa da quella tradizionale.
In conclusione, se non si dà importanza alle dimostrazioni, va bene pure cambiare ordine, se si devono fare le dimostrazioni cambiare ordine mi sembra un papocchio.
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