Esercizio urgente
Salve a tutti, lunedì ho un esame di fisica matematica e non riesco a trovare niente che mi aiuti a risolvere un problema che, ahimè può anche sembrare banale, ma mi sta distruggendo letteralmente!!!
Il problema si pone così:
Determinare le orbite descritte da un sistema unidimensionale conservativo la cui energia potenziale è data da V(x)=-x^4+ax^2 al variare di a in R.
Grazie milleeeee
PS: mi è stato detto di provare in questa sezione
Il problema si pone così:
Determinare le orbite descritte da un sistema unidimensionale conservativo la cui energia potenziale è data da V(x)=-x^4+ax^2 al variare di a in R.
Grazie milleeeee
PS: mi è stato detto di provare in questa sezione
Risposte
io farei un ritratto di fase per 2 casi:
1. $a>=0$ che sono infatti qualitativamente uguali
2. $a<0$
ti fai quindi un grafico approssimativo dei due potenziali e poi fai il ritratto di fase considerando che:
- i minimi sono centri
- i massimi sono selle
e poi chiudi le orbite.
1. $a>=0$ che sono infatti qualitativamente uguali
2. $a<0$
ti fai quindi un grafico approssimativo dei due potenziali e poi fai il ritratto di fase considerando che:
- i minimi sono centri
- i massimi sono selle
e poi chiudi le orbite.
ciao, grazie mille innanzitutto, potresti spiegarmi bene come se dovessi spiegare ad un ignorante in materia? sarà che l'ansia mi influenzi, ma non capisco proprio scusami...
caso 1:
considero $a>= 0$ e non spezzo in $a=0 ^^ a>0$ perchè in entrambi i casi il grafico qualitativo del potenziale ha lo stesso andamento. a questo punto dobbiamo disegnare il grafico del potenziale $V(x)=-x^4+ax^2$. per farlo puoi usar le tecniche che conosci di analisi I: limiti alla frontiera del dominio un veloce studio della derivata prima. quello che esce è una sorta di parabola con la concavità verso il basso e con il vertice in 0. è quindi il prototipo del repulsore lineare.
dobbiamo ora disegnare il ritratto di fase nello spazio degli stati, ovvero l'insieme dei punti $(x,dotx)$. il grafico è una sorta di grande X nel centro con dei rami di iperbole tutti intorno. (scusa ma non riesco a fare i grafici)
caso 2:
qui assumiamo $a<0$. disegniamo ancora il grafico (lo lascio fare a te). è una sorta di "vasino" (ti prego passami il termine
). va all'infinito a $+- oo$, ha un max nelle x negative, un max nelle x positive ed un minimo in 0.
passiamo ora allo spazio degli stati. qui il ritratto di fase è più complicato, sembra, per intenderci (o almeno spero), il simbolo del clan Senju di Naruto.
[img]https://vignette.wikia.nocookie.net/naruto/images/8/8d/Senju_Symbol.svg/revision/latest/scale-to-width-down/600?cb=20090302032847[/img]
solo che al posto della lineetta in mezzo hai delle orbite circolari che uniscono poi agli altri pezzi. le orbite successive seguono lo stesso profilo delle altre ma sono più smussate.
spero davvero tu abbia capito.
considero $a>= 0$ e non spezzo in $a=0 ^^ a>0$ perchè in entrambi i casi il grafico qualitativo del potenziale ha lo stesso andamento. a questo punto dobbiamo disegnare il grafico del potenziale $V(x)=-x^4+ax^2$. per farlo puoi usar le tecniche che conosci di analisi I: limiti alla frontiera del dominio un veloce studio della derivata prima. quello che esce è una sorta di parabola con la concavità verso il basso e con il vertice in 0. è quindi il prototipo del repulsore lineare.
dobbiamo ora disegnare il ritratto di fase nello spazio degli stati, ovvero l'insieme dei punti $(x,dotx)$. il grafico è una sorta di grande X nel centro con dei rami di iperbole tutti intorno. (scusa ma non riesco a fare i grafici)
caso 2:
qui assumiamo $a<0$. disegniamo ancora il grafico (lo lascio fare a te). è una sorta di "vasino" (ti prego passami il termine
). va all'infinito a $+- oo$, ha un max nelle x negative, un max nelle x positive ed un minimo in 0.passiamo ora allo spazio degli stati. qui il ritratto di fase è più complicato, sembra, per intenderci (o almeno spero), il simbolo del clan Senju di Naruto.
[img]https://vignette.wikia.nocookie.net/naruto/images/8/8d/Senju_Symbol.svg/revision/latest/scale-to-width-down/600?cb=20090302032847[/img]
solo che al posto della lineetta in mezzo hai delle orbite circolari che uniscono poi agli altri pezzi. le orbite successive seguono lo stesso profilo delle altre ma sono più smussate.
spero davvero tu abbia capito.
si grazie mille, sei stato fantastico<3 <3 <3 <3 <3
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