Esercizio Uniforme Convergenza

[liberatorimatteo]

Ho questo esercizio:

Determinare il limite puntuale della successione di funzioni $f_n(x)=(1+x/n)^n$ nell'intervallo $[0,1]$e verificare se la convergenza è anche uniforme.

Allora, la convergenza puntuale è facile:

$lim_(n\to+oo) f_n(x)=lim_(n\to+oo)(1+x/n)^n=e^x \forallx\in[0,1]$

Sia $h_n(x)=e^x-f_n(x)$ Ora per la convergenza uniforme devo verificare che $lim_(n\to +oo) \text(sup)_{x\in[0,1]}|h_n(x)|=0$
Faccio la derivata per cercare il massimo.

$h_n'(x)=e^x-(1+x/n)^(n-1)>e^x-(1+x/n)^n$

Se riesco a dimostrare che $e^x-(1+x/n)^n>=0$ avrei che $h_n(x)$ è crescente e quindi il sup si avrebbe per $x=1$ e quindi:

$lim_(n\to +oo) \text(sup)_{x\in[0,1]}|h_n(x)|=lim_(n\to +oo) |h_n(1)|=e-e=0$

Ossia $f_n(x)$ converge uniformemente.

Ma come dimostro che $e^x-(1+x/n)^n>=0$ ? Ho provato con la formula di taylor con il resto di lagrange ma non ottengo nulla di più semplice...

[liberatorimatteo]

Penso di aver risolto mostrando che $a_n=(1+x/n)^n$ è crescente e perciò ha il sup a $+oo$ che equivale a dimostrare la mia disuguaglianza. Infatti:
$a_n=(1+x/n)^n=\sum_(k=0)^(n)x^k/(k!)(1-1/n)\cdot...\cdot(1-(k-1)/n)<\sum_(k=0)^(n+1)x^k/(k!)(1-1/(n+1))\cdot...\cdot(1-(k-1)/(n+1))=a_(n+1)$
Grazie comunque