[Esercizio] Trasformazione di operatori differenziali
Salve,
mi trovo di fronte a questo quesito:
"Mostrare che l'espressione in coordinate polari $rho$, $theta$ dell'operatore differenziale
$Deltaf = (\partial^2f)/(\partialx^2) + (\partial^2f)/(\partialy^2)$
è data da:
$(\partial^2f)/(\partialrho^2) + 1/rho^2(\partial^2f)/(\partialtheta^2) + 1/rho(\partialf)/(\partialrho)$"
Come si svolge? C'è un algoritmo?
grazie
mi trovo di fronte a questo quesito:
"Mostrare che l'espressione in coordinate polari $rho$, $theta$ dell'operatore differenziale
$Deltaf = (\partial^2f)/(\partialx^2) + (\partial^2f)/(\partialy^2)$
è data da:
$(\partial^2f)/(\partialrho^2) + 1/rho^2(\partial^2f)/(\partialtheta^2) + 1/rho(\partialf)/(\partialrho)$"
Come si svolge? C'è un algoritmo?
grazie
Risposte
Sono conti che sono stati fatti più volte sul forum: prova a cercare.
Se non trovi nulla, prendi in considerazione il fatto di fre tutto "a mano".
L'idea è la seguente: prendi una $f(x,y)$ bastantemente regolare e sostituisci $x=\rho \cos \theta$ ed $y=\rho \sin \theta$, ottenendo l'espressione della tua funzione in coordinate polari (all'inizio chiamala $F(\rho ,\theta)$, per non confonderti; solo alla fine di tutto sostituisci $F$ con $f$).
Il teorema di derivazione delle funzioni composte ti consente di calcolare $F_\rho$ ed $F_\theta$ in funzione di $f_x$ ed $f_y$, ottenendo due uguaglianze che puoi interpretare come un sistema lineare da cui ricavare $f_x$ ed $f_y$. In questo modo hai le derivate prime di $f$ espresse in coordinate polari.
In maniera analoga, puoi ricavare le derivate seconde pure e miste.
Se non trovi nulla, prendi in considerazione il fatto di fre tutto "a mano".
L'idea è la seguente: prendi una $f(x,y)$ bastantemente regolare e sostituisci $x=\rho \cos \theta$ ed $y=\rho \sin \theta$, ottenendo l'espressione della tua funzione in coordinate polari (all'inizio chiamala $F(\rho ,\theta)$, per non confonderti; solo alla fine di tutto sostituisci $F$ con $f$).
Il teorema di derivazione delle funzioni composte ti consente di calcolare $F_\rho$ ed $F_\theta$ in funzione di $f_x$ ed $f_y$, ottenendo due uguaglianze che puoi interpretare come un sistema lineare da cui ricavare $f_x$ ed $f_y$. In questo modo hai le derivate prime di $f$ espresse in coordinate polari.
In maniera analoga, puoi ricavare le derivate seconde pure e miste.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo