Esercizio trasformata di Laplace
Allora ho il seguente esercizio da risolvere:
Usando la trasformata di Laplace, trovare \(\displaystyle y(t) \) che risolva per \(\displaystyle t \ge0 \) il seguente problema, ora queste tre equazioni sono messe a sistema:
\(\displaystyle y''(t) = y(t)\star t\)
\(\displaystyle y(0)=0 \)
\(\displaystyle y'(0)=1 \)
dove \(\displaystyle \star \) indica il prodotto di convoluzione.
La prima cosa che vorrei chiedere è se qualcuno mi sa spiegare in maniera semplice e se possibile con riferimento a questo esercizio che cos'è il prodotto di convoluzione grazie.
Usando la trasformata di Laplace, trovare \(\displaystyle y(t) \) che risolva per \(\displaystyle t \ge0 \) il seguente problema, ora queste tre equazioni sono messe a sistema:
\(\displaystyle y''(t) = y(t)\star t\)
\(\displaystyle y(0)=0 \)
\(\displaystyle y'(0)=1 \)
dove \(\displaystyle \star \) indica il prodotto di convoluzione.
La prima cosa che vorrei chiedere è se qualcuno mi sa spiegare in maniera semplice e se possibile con riferimento a questo esercizio che cos'è il prodotto di convoluzione grazie.
Risposte
"claudio_p88":
qualcuno mi sa spiegare in maniera semplice e se possibile con riferimento a questo esercizio che cos'è il prodotto di convoluzione
Il libro che dice?
allora se non erro \(\displaystyle y''(t) = s^2Y(s)-(sy(0)+\frac {dy(0)}{dt}) \) sostituendo i valori che ho nel sistema mi ritrovo
\(\displaystyle y''(t) =s^2Y(s)-1 \) ora sempre se non erro il prodotto di convoluzione è un prodotto in grado di calcolare la trasformata di una funzione non nota tramite il prodotto di due funzioni note più specificatamente
\(\displaystyle \int _{0}^{t} f(t-u)g(u)du\) per quanto riguarda quest'esercizio dovrei avere che la trasformata di \(\displaystyle y(t) = Y(s) \) e la trasformata di \(\displaystyle t = \int_{0}^\infty e^{-st}tdt \) risolvendo per parti quest'intgrale ottengo \(\displaystyle \frac{e^{-st}}{-s}|_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}e^{-st}dt=\frac{1}{s}-\frac{1}{s}=0 \) ditemi cortesemente se ci sono errori nei calcoli di quest'integrale, quindi la trasformata di Laplace di \(\displaystyle t=0 \) , ora i miei calcoli si interrompono perchè non riesco ad andare avanti cioè come faccio adesso ad applicare la formula?
\(\displaystyle y''(t) =s^2Y(s)-1 \) ora sempre se non erro il prodotto di convoluzione è un prodotto in grado di calcolare la trasformata di una funzione non nota tramite il prodotto di due funzioni note più specificatamente
\(\displaystyle \int _{0}^{t} f(t-u)g(u)du\) per quanto riguarda quest'esercizio dovrei avere che la trasformata di \(\displaystyle y(t) = Y(s) \) e la trasformata di \(\displaystyle t = \int_{0}^\infty e^{-st}tdt \) risolvendo per parti quest'intgrale ottengo \(\displaystyle \frac{e^{-st}}{-s}|_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}e^{-st}dt=\frac{1}{s}-\frac{1}{s}=0 \) ditemi cortesemente se ci sono errori nei calcoli di quest'integrale, quindi la trasformata di Laplace di \(\displaystyle t=0 \) , ora i miei calcoli si interrompono perchè non riesco ad andare avanti cioè come faccio adesso ad applicare la formula?
La trasformata di Laplace unilatera di \(f(t)=t\) è \(F(s)=\frac{1}{s^2}\), ricontrolla i conti che sono fatti male.
Dunque:
\[
\mathcal{L}[y\star f](s) = Y(s)\ F(s)=\frac{1}{s^2}\ Y(s)
\]
per il teorema sulla trasformata della convoluzione.
Dunque:
\[
\mathcal{L}[y\star f](s) = Y(s)\ F(s)=\frac{1}{s^2}\ Y(s)
\]
per il teorema sulla trasformata della convoluzione.
mi hai preceduto di un secondo stavo appunto correggendo allora la trasformata di \(\displaystyle t \) è data da \(\displaystyle \int_{0}^\infty te^{-st}dt \)integrando per parti ottengo \(\displaystyle \frac{e^{-st}t}{-s}|_{0}^\infty+\frac{1}{s}\int_{0}^\infty e^{-st}dt \)risolvendo mi viene fuori \(\displaystyle \frac{1}{s^2} \) ora se faccio il prodotto con \(\displaystyle Y(s) \) ho che \(\displaystyle y''(t) = y(t)\star t=s^2Y(s)-1=\frac{Y(s)}{s^2} \)continuo i calcoli e vi aggiorno grazie gugo...
ok, ora praticamente ho ottenuto \(\displaystyle Y(s) -1 = \frac{Y(s)}{s^2} \)risolvendo ottengo \(\displaystyle Y(s)= \frac{s^2}{s^4-1} \), ora però non so come procedere qualche suggerimento?
Come calcoli di solito le antitrasformate? A "mano" (nel senso, attraverso le tabelle e le proprietà) oppure utilizzando la formula di inversione (che fa uso, sostanzialmente, di un integrale da svolgere con il Teorema dei residui)?
credo si proceda tramite il calcolo dei residui, ma non so come
Chi mi da una mano a calcolare l'antitrasformata attraverso la formula di inversione(usando il Teorema dei residui)non so proprio da dove cominciare...
"claudio_p88":
ok, ora praticamente ho ottenuto \(\displaystyle Y(s) -1 = \frac{Y(s)}{s^2} \)risolvendo ottengo \(\displaystyle Y(s)= \frac{s^2}{s^4-1} \), ora però non so come procedere qualche suggerimento?
Vogliamo calcolare:
\[
\mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s^2}{s^4-1} \right](t)\; .
\]
Innanzitutto, decomponiamo l'argomento dell'antitrasformata in fratti semplici:
\[
\frac{s^2}{s^4-1} = \frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+1}+\frac{Cs+D}{s^2+1}
\]
ove:
\[
\begin{split}
A &=\operatorname{Res} \left( \frac{s^2}{s^4-1} ;1\right) \\
&= \lim_{s\to 1} \frac{s^2}{(s+1)(s^2+1)} \\
&= \frac{1}{4}\\
B &=\operatorname{Res} \left( \frac{s^2}{s^4-1} ; -1\right) \\
&= \lim_{s\to -1} \frac{s^2}{(s-1)(s^2+1)} \\
&= -\frac{1}{4}\\
C -\imath\ D& =2 \operatorname{Res} \left( \frac{s^2}{s^4-1} ; \imath \right)\\
&= 2\lim_{s\to \imath} \frac{s^2}{(s^2-1)(s+\imath)}\\
&= 2 \frac{-1}{2\imath (-2)}\\
&= \frac{1}{2\imath}\\
&= -\frac{1}{2}\imath
\end{split}
\]
sicché:
\[
\frac{s^2}{s^4-1} = \frac{1}{4(s-1)}-\frac{1}{4(s+1)}+\frac{1}{2(s^2+1)}\; .
\]
Sfruttando la linearità dell'antitrasformata e ricordando le trasformate elementari si trova:
\[
\begin{split}
\mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s^2}{s^4-1} \right](t) &= \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{4(s-1)} \right](t) -\mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{4(s+1)}\right] (t) +\mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{2(s^2+1)}\right] (t)\\
&= \frac{1}{4} e^{t} \operatorname{u}(t) -\frac{1}{4} e^{-t} \operatorname{u}(t) +\frac{1}{2}\sin t\ \operatorname{u}(t)\\
&= \frac{1}{4} \left( e^t -e^{-t} +2\sin t\right)\ \operatorname{u}(t)\; ,
\end{split}
\]
ove \(\operatorname{u}(\cdot)\) è il gradino unitario.
Ovviamente, avremmo anche potuto tenere a mente che:
\[
\mathcal{L}[\sinh t](s) =\frac{1}{s^2-1}
\]
per procedere in quest'altra maniera:
\[
\begin{split}
\mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s^2}{s^4-1} \right](t) &= \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{2(s^2-1)} \right](t) +\mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{2(s^2+1)}\right] (t)\\
&= \frac{1}{2} \sinh t \operatorname{u}(t) +\frac{1}{2}\sin t\ \operatorname{u}(t)\\
&= \frac{1}{4} \left( \sinh t+\sin t\right)\ \operatorname{u}(t)\; .
\end{split}
\]
gugo grazie mille tutto chiarissimo, l'unica cosa che mi sfugge è quando scrivi C-iD e i relativi calcoli so che può sembrare una domanda banale, ma da dove esce fuori la i e perchè moltiplichi per 2 il successivo limite? ti ringrazio per la spiegazione precedente veramente chiara.
Beh, è una questione un po' complicata.
Prendiamo una funzione razionale \(f(s):=P(s)/Q(s)\), con \(P,Q\) polinomi a coefficienti reali.
Supponiamo che nella scomposizione in fattori del polinomio a denominatore \(Q(s)\) compaia un polinomio \(\alpha s^2+\beta s+\gamma\) irriducibile sui reali, cioè con il \(\Delta <0\) ed avente dunque due radici complesse coniugate.
Chiamate \(s_0=\sigma_0+\imath\ \varsigma_0\) ed \(\bar{s}_0\) le due radici complesse coniugate di \(\alpha s^2+\beta s+\gamma\), si ha:
\[
\tag{0} \alpha s^2+\beta s+\gamma = \alpha (s-s_0)(s-\bar{s}_0) =\alpha [(s-\sigma_0)-\imath\ \varsigma_0]\ [(s-\sigma_0)+\imath\ \varsigma_0]\; .
\]
Nella decomposizione in fratti semplici di \(f(s)\) comparirà allora un fratto del tipo:
\[
\tag{1} \frac{C(s-\sigma_0)+D}{\alpha s^2+\beta s+\gamma}\; .
\]
Chiaramente, vista la fattorizzazione (0), al posto del fratto (1) puoi considerare (in maniera del tutto equivalente per i tuoi scopi) la somma di fratti "più semplici":
\[
\tag{2} \frac{c}{\alpha (s-s_0)} +\frac{d}{\alpha (s-\bar{s}_0)}
\]
in cui però appaiono dei polinomi a coefficienti complessi.
Fatta questa scelta, si dimostra che:
\[
\begin{split}
c &= \operatorname{Res} (f(z);s_0)\\
d &= \operatorname{Res} (f(z);\bar{s}_0)
\end{split}
\]
e da ciò segue immediatamente (facendo i conti decentemente) che \(d=\bar{c}\); quindi il fratto semplice (2) è determinato non appena si conosca \(\operatorname{Res} (f(z);s_0)\) ed in particolare si può riscrivere nella forma:
\[
\tag{3} \frac{c}{\alpha [(s-\sigma_0)-\imath\ \varsigma_0]} +\frac{\bar{c}}{\alpha [(s-\sigma_0)+\imath\ \varsigma_0]}\; .
\]
Ma, d'altra parte, il fratto semplice (1) ha da coincidere con (3): quindi:
\[
\begin{split}
\frac{C(s-\sigma_0)+D}{\alpha s^2+\beta s+\gamma} &= \frac{c}{\alpha [(s-\sigma_0)-\imath\ \varsigma_0]} +\frac{\bar{c}}{\alpha [(s-\sigma_0)+\imath\ \varsigma_0]}\\
&= \frac{(c+\bar{c})(s-\sigma_0) +\imath (c-\bar{c})\varsigma_0}{\alpha [(s-\sigma_0)-\imath\ \varsigma_0]\ [(s-\sigma_0)+\imath\ \varsigma_0]}
\end{split}
\]
da cui:
\[
\begin{cases}
C=c+\bar{c}=2\Re e\ \operatorname{Res}(f;s_0)\\
D=\imath\ \varsigma_0 (c-\bar{c})=-2\varsigma_0\ \Im m\ \operatorname{Res}(f;s_0)
\end{cases}
\]
ossia:
\[
C-\imath \frac{1}{\varsigma_0}D = 2\ \operatorname{Res}(f;s_0)\; .
\]
Nel tuo caso era \(s_0=\imath\), quindi \(\sigma_0=0,\ \varsigma_0=1\) e perciò la formula che ho usato.
Comunque trovi tutto spiegato un poco meglio in questi appuntini che ho scritto un po' di tempo fa.
Prendiamo una funzione razionale \(f(s):=P(s)/Q(s)\), con \(P,Q\) polinomi a coefficienti reali.
Supponiamo che nella scomposizione in fattori del polinomio a denominatore \(Q(s)\) compaia un polinomio \(\alpha s^2+\beta s+\gamma\) irriducibile sui reali, cioè con il \(\Delta <0\) ed avente dunque due radici complesse coniugate.
Chiamate \(s_0=\sigma_0+\imath\ \varsigma_0\) ed \(\bar{s}_0\) le due radici complesse coniugate di \(\alpha s^2+\beta s+\gamma\), si ha:
\[
\tag{0} \alpha s^2+\beta s+\gamma = \alpha (s-s_0)(s-\bar{s}_0) =\alpha [(s-\sigma_0)-\imath\ \varsigma_0]\ [(s-\sigma_0)+\imath\ \varsigma_0]\; .
\]
Nella decomposizione in fratti semplici di \(f(s)\) comparirà allora un fratto del tipo:
\[
\tag{1} \frac{C(s-\sigma_0)+D}{\alpha s^2+\beta s+\gamma}\; .
\]
Chiaramente, vista la fattorizzazione (0), al posto del fratto (1) puoi considerare (in maniera del tutto equivalente per i tuoi scopi) la somma di fratti "più semplici":
\[
\tag{2} \frac{c}{\alpha (s-s_0)} +\frac{d}{\alpha (s-\bar{s}_0)}
\]
in cui però appaiono dei polinomi a coefficienti complessi.
Fatta questa scelta, si dimostra che:
\[
\begin{split}
c &= \operatorname{Res} (f(z);s_0)\\
d &= \operatorname{Res} (f(z);\bar{s}_0)
\end{split}
\]
e da ciò segue immediatamente (facendo i conti decentemente) che \(d=\bar{c}\); quindi il fratto semplice (2) è determinato non appena si conosca \(\operatorname{Res} (f(z);s_0)\) ed in particolare si può riscrivere nella forma:
\[
\tag{3} \frac{c}{\alpha [(s-\sigma_0)-\imath\ \varsigma_0]} +\frac{\bar{c}}{\alpha [(s-\sigma_0)+\imath\ \varsigma_0]}\; .
\]
Ma, d'altra parte, il fratto semplice (1) ha da coincidere con (3): quindi:
\[
\begin{split}
\frac{C(s-\sigma_0)+D}{\alpha s^2+\beta s+\gamma} &= \frac{c}{\alpha [(s-\sigma_0)-\imath\ \varsigma_0]} +\frac{\bar{c}}{\alpha [(s-\sigma_0)+\imath\ \varsigma_0]}\\
&= \frac{(c+\bar{c})(s-\sigma_0) +\imath (c-\bar{c})\varsigma_0}{\alpha [(s-\sigma_0)-\imath\ \varsigma_0]\ [(s-\sigma_0)+\imath\ \varsigma_0]}
\end{split}
\]
da cui:
\[
\begin{cases}
C=c+\bar{c}=2\Re e\ \operatorname{Res}(f;s_0)\\
D=\imath\ \varsigma_0 (c-\bar{c})=-2\varsigma_0\ \Im m\ \operatorname{Res}(f;s_0)
\end{cases}
\]
ossia:
\[
C-\imath \frac{1}{\varsigma_0}D = 2\ \operatorname{Res}(f;s_0)\; .
\]
Nel tuo caso era \(s_0=\imath\), quindi \(\sigma_0=0,\ \varsigma_0=1\) e perciò la formula che ho usato.
Comunque trovi tutto spiegato un poco meglio in questi appuntini che ho scritto un po' di tempo fa.
Se abitassi a Roma avresti il caffè pagato tutte le mattine, veramente utilissimo, grazie grazie e ancora grazie.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo