Esercizio trasformata di fourier
Ciao a tutti sto iniziando a risolvere i primi esercizi sulle trasformate di Fourier con grande difficoltà. Qualcuno può darmi una mano a fare la trasformata di questa funzione: $x^3+2*sin(2*pi*x)$.
Per iniziare posso dimostrare che è una funzione a crescità lenta ad esempio è minore di $x^4$, da questo posso dedurre che è la sue distribuzione è ben temperata, ma da qui non riesco a capire come devo andare avanti, ho letto anche le proprietà della trasformata di Fourier ma non riesco a capire come usarle.
Per iniziare posso dimostrare che è una funzione a crescità lenta ad esempio è minore di $x^4$, da questo posso dedurre che è la sue distribuzione è ben temperata, ma da qui non riesco a capire come devo andare avanti, ho letto anche le proprietà della trasformata di Fourier ma non riesco a capire come usarle.
Risposte
La trasformata di Fourier nasce come:
[tex]\hat{f} ( \omega ) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f(x) e^{i \omega x} dx[/tex]
Si possono poi definire una trasformata destra e una sinistra come:
[tex]\hat{f}_{+} ( \omega ) = \int_{0}^{+ \infty} f(x) e^{i \omega x} dx[/tex]
[tex]\hat{f}_{-} ( \omega ) = \int_{- \infty}^{0} f(x) e^{i \omega x} dx[/tex]
In generale [tex]\omega = u + i v[/tex] è complesso, e le derivate destra e sinistra esistono solo per particolari valori della parte complessa $v$. Se esiste un intervallo di valori di $v$ per cui esistono sia la trasformata destra che la sinistra, allora esiste anche la trasformata classica, ed è la somma di quella destra e quella sinistra.
Nel caso di funzioni a crescita lenta, una trasformata laterale è definita per $v>0$, l'altra per $v<0$, quindi non esistono mai entrambe; tuttavia, si definisce la trasformata per $v=0$, prendendo la somma delle trasformate laterali e facendo il limite per [tex]v \to 0[/tex]. Notare che il risultato sarà reale, visto che la parte immaginaria la si fa sparire facendo il limite.
Tipicamente si usa indicare $v$ con [tex]\pm \epsilon[/tex], a seconda dei casi, ma è solo per rendere la scrittura più intuitiva.
Consideriamo $g(x) = x^3$:
[tex]\hat{g}_{+} (u + i \epsilon ) = \int_{0}^{+ \infty} x^3 e^{i(u+i \epsilon)x} dx = \int_{0}^{+ \infty} x^3 e^{(- \epsilon + iu)x} dx =[/tex]
[tex]= ... = - \left [ 6 \frac{ e^{(- \epsilon + iu)x} }{(- \epsilon + iu)^4} \right ]_{0}^{+ \infty} = \frac{6}{(- \epsilon + iu)^4}[/tex]
dove al posto dei puntini, ho integrato per parti 3 volte.
Analogamente:
[tex]\hat{g}_{-} (u - i \epsilon ) = \int_{- \infty}^{0} x^3 e^{i(u-i \epsilon)x} dx = \int_{- \infty}^{0} x^3 e^{( \epsilon + iu)x} dx =[/tex]
[tex]= ... = - \left [ 6 \frac{ e^{( \epsilon + iu)x} }{( \epsilon + iu)^4} \right ]_{- \infty}^{0} = - \frac{6}{( \epsilon + iu)^4}[/tex]
Dunque:
[tex]\hat{g}_{+} (u + i \epsilon ) + \hat{g}_{-} (u - i \epsilon ) = \frac{6}{(- \epsilon + iu)^4} - \frac{6}{( \epsilon + iu)^4} =[/tex]
[tex]= 6 \frac{( \epsilon + iu)^4 - (- \epsilon + iu)^4}{ \left ( \epsilon^2 + u^2 \right )^4 } = 6 \frac{8 \epsilon^3 iu - 8 i u^3 \epsilon}{ \left ( \epsilon^2 + u^2 \right )^4 } = 48 i u \epsilon \frac{ \epsilon^2 - u^2 }{ \left ( \epsilon^2 + u^2 \right )^4 }[/tex]
Passando al limite per [tex]\epsilon \to 0[/tex] si ottiene:
[tex]\hat{g}( u ) = 0[/tex]
Analogamente puoi calcolare la trasformata della parte col seno, che ti converrà trasformare in una somma di esponenziali complessi tramite le formule di Eulero. Il calcolo è anche più semplice di questo.
Il risultato dovrebbe venire pure 0.
[tex]\hat{f} ( \omega ) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f(x) e^{i \omega x} dx[/tex]
Si possono poi definire una trasformata destra e una sinistra come:
[tex]\hat{f}_{+} ( \omega ) = \int_{0}^{+ \infty} f(x) e^{i \omega x} dx[/tex]
[tex]\hat{f}_{-} ( \omega ) = \int_{- \infty}^{0} f(x) e^{i \omega x} dx[/tex]
In generale [tex]\omega = u + i v[/tex] è complesso, e le derivate destra e sinistra esistono solo per particolari valori della parte complessa $v$. Se esiste un intervallo di valori di $v$ per cui esistono sia la trasformata destra che la sinistra, allora esiste anche la trasformata classica, ed è la somma di quella destra e quella sinistra.
Nel caso di funzioni a crescita lenta, una trasformata laterale è definita per $v>0$, l'altra per $v<0$, quindi non esistono mai entrambe; tuttavia, si definisce la trasformata per $v=0$, prendendo la somma delle trasformate laterali e facendo il limite per [tex]v \to 0[/tex]. Notare che il risultato sarà reale, visto che la parte immaginaria la si fa sparire facendo il limite.
Tipicamente si usa indicare $v$ con [tex]\pm \epsilon[/tex], a seconda dei casi, ma è solo per rendere la scrittura più intuitiva.
Consideriamo $g(x) = x^3$:
[tex]\hat{g}_{+} (u + i \epsilon ) = \int_{0}^{+ \infty} x^3 e^{i(u+i \epsilon)x} dx = \int_{0}^{+ \infty} x^3 e^{(- \epsilon + iu)x} dx =[/tex]
[tex]= ... = - \left [ 6 \frac{ e^{(- \epsilon + iu)x} }{(- \epsilon + iu)^4} \right ]_{0}^{+ \infty} = \frac{6}{(- \epsilon + iu)^4}[/tex]
dove al posto dei puntini, ho integrato per parti 3 volte.
Analogamente:
[tex]\hat{g}_{-} (u - i \epsilon ) = \int_{- \infty}^{0} x^3 e^{i(u-i \epsilon)x} dx = \int_{- \infty}^{0} x^3 e^{( \epsilon + iu)x} dx =[/tex]
[tex]= ... = - \left [ 6 \frac{ e^{( \epsilon + iu)x} }{( \epsilon + iu)^4} \right ]_{- \infty}^{0} = - \frac{6}{( \epsilon + iu)^4}[/tex]
Dunque:
[tex]\hat{g}_{+} (u + i \epsilon ) + \hat{g}_{-} (u - i \epsilon ) = \frac{6}{(- \epsilon + iu)^4} - \frac{6}{( \epsilon + iu)^4} =[/tex]
[tex]= 6 \frac{( \epsilon + iu)^4 - (- \epsilon + iu)^4}{ \left ( \epsilon^2 + u^2 \right )^4 } = 6 \frac{8 \epsilon^3 iu - 8 i u^3 \epsilon}{ \left ( \epsilon^2 + u^2 \right )^4 } = 48 i u \epsilon \frac{ \epsilon^2 - u^2 }{ \left ( \epsilon^2 + u^2 \right )^4 }[/tex]
Passando al limite per [tex]\epsilon \to 0[/tex] si ottiene:
[tex]\hat{g}( u ) = 0[/tex]
Analogamente puoi calcolare la trasformata della parte col seno, che ti converrà trasformare in una somma di esponenziali complessi tramite le formule di Eulero. Il calcolo è anche più semplice di questo.
Il risultato dovrebbe venire pure 0.
"Darksasori":
Ciao a tutti sto iniziando a risolvere i primi esercizi sulle trasformate di Fourier con grande difficoltà. Qualcuno può darmi una mano a fare la trasformata di questa funzione: $x^3+2*sin(2*pi*x)$.
Per iniziare posso dimostrare che è una funzione a crescita lenta ad esempio è minore di $x^4$, da questo posso dedurre che è la sue distribuzione è ben temperata, ma da qui non riesco a capire come devo andare avanti, ho letto anche le proprietà della trasformata di Fourier ma non riesco a capire come usarle.
"Ben temperato" era il clavicembalo di Bach... Le distribuzioni sono temperate e basta.
Se la vedi a livello distribuzionale, la faccenda è semplice.
Se prendi una distibuzione temperata \(F\) definita sulla classe di Schwarz \(\mathcal{S}\), la trasformata di Fourier si definisce usando il solito trucco: scaricare tutto sui test. Quindi la trasformata di \(F\), chiamiamola \(\hat{F}\), è quella distribuzione temperata definita ponendo:
\[
\langle \hat{F} ,\phi \rangle := \langle F, \hat{\phi}\rangle
\]
ove \(\hat{\phi}\) è la trasformata di Fourier classica del test \(\phi\). Si prova facilmente che \(\hat{ }\) è una trasformazione lineare, sicché \(\widehat{F_1+F_2}=\hat{F_1}+\hat{F_2}\) per ogni coppia di distribuzioni temperate.
Inoltre, la \(\hat{ }\) gode di diverse altre proprietà importanti: ad esempio, se \(F\) è una distribuzione temperata, allora la trasformata di \(x^n\ F\) (che è ancora una distribuzione temperata) è proporzionale alla derivata \(n\)-esima della trasformata di \(F\), i.e.:
\[
\widehat{x^n\ F} = C^n\ \operatorname{D}^n\hat{F}
\]
(qui \(\operatorname{D}^n\) è l'operatore di derivata distribuzionale \(n\)-esima) con la costante \(C\) dipendente dai fattori di normalizzazione usati nela definizione della trasformata.
Ad esempio, dalla definizione di trasformata segue che la trasformata della distribuzione regolare \(\mathbf{1}\) individuata dalla funzione \(f(x)=1\) è una \(\delta\): infatti:
\[
\langle \hat{\mathbf{1}}, \phi \rangle = \langle \mathbf{1}, \hat{\phi}\rangle = \int_{-\infty}^\infty \hat{\phi}(x)\ \text{d} x = c\ \phi (0) = \langle c\ \delta ,\phi\rangle
\]
quindi \(\hat{\mathbf{1}}=c\ \delta\), in cui \(c\) è una costante dipendente dalla normalizzazione scelta. Da ciò e dalla roprietà richiamata sopra segue che:
\[
\hat{x^n\ \mathbf{1}} = C^n\ c\ \operatorname{D}^n\ \delta(\omega)\; .
\]
D'altra parte, si vede facilmente che se \(F\) è la distribuzione temperata regolare individuata da \(e^{\imath \alpha x}\), allora:
\[
\hat{F} = c\ \delta (\omega-a)
\]
con \(c\) come sopra; quindi dalla proprietà di linearità segue:
\[
\hat{\sin (\alpha\ x)} = \widehat{\frac{e^{\imath\ \alpha x} - e^{-\imath\ \alpha x}}{2\imath}} = \frac{c}{2\imath}\ \Big( \delta (\omega -a) - \delta (\omega +a)\Big)\; .
\]
Da qui ed usando ancora la linearità trai subito la trasformata di Fourier della distribuzione che ti hanno assegnato.
Correggo il mio post precedente, alla luce dell'intervento giustissimo di gugo82 (in effetti c'era qualcosa che mi suonava strano).
Per quanto riguarda il calcolo che ho fatto io, mi sembra corretto classicamente, ma nel senso delle distribuzioni è più complesso da capire. Ovviamente conviene usare le proprietà riportate da gugo82, però trovo facendo i calcoli espliciti si imparano un sacco di cose, che fanno capire più a fondo la differenza tra funzioni, distribuzioni, ecc..
Conto di svolgere al più presto i calcoli ingenuamente, ed eventualmente li posterò, se trovo, come penso, che si siano osservazioni interessanti da fare.
Per quanto riguarda il calcolo che ho fatto io, mi sembra corretto classicamente, ma nel senso delle distribuzioni è più complesso da capire. Ovviamente conviene usare le proprietà riportate da gugo82, però trovo facendo i calcoli espliciti si imparano un sacco di cose, che fanno capire più a fondo la differenza tra funzioni, distribuzioni, ecc..
Conto di svolgere al più presto i calcoli ingenuamente, ed eventualmente li posterò, se trovo, come penso, che si siano osservazioni interessanti da fare.
Ciao, grazie ancora dell'aiuto! Se non hai tempo per svolgere i calcoli non ti preoccupare, con il vostro aiuto e una videolezione della mia università sono riuscito a capire come risolvere gli esercizi!
"gugo82":[/quote]
[quote="Darksasori"]
\[
\widehat{x^n\ F} = C^n\ \operatorname{D}^n\hat{F}
\]
(qui \(\operatorname{D}^n\) è l'operatore di derivata distribuzionale \(n\)-esima) con la costante \(C\) dipendente dai fattori di normalizzazione usati nela definizione della trasformata.
\[
\hat{\sin (\alpha\ x)} = \widehat{\frac{e^{\imath\ \alpha x} - e^{-\imath\ \alpha x}}{2\imath}} = \frac{c}{2\imath}\ \Big( \delta (\omega -a) - \delta (\omega +a)\Big)\; .
\]
Da qui ed usando ancora la linearità trai subito la trasformata di Fourier della distribuzione che ti hanno assegnato.
ho due domande:
1) come si trova $C^n$
2) Data :
\[
\widehat{x^n\ F} = C^n\ \operatorname{D}^n\hat{F}
\]
posto che la $ \hat{F} = c/(2i) ( \delta ( \omega - 2 pi \alpha) - \delta (\omega + 2 \pi \alpha) ) $
\[
\widehat{x^n\ F} = c/(2i) [(-1)^n \phi^n (-2 \pi \alpha) - (-1)^n \phi^n (2 \pi \alpha) ]
\]
$C^n$ potrebbe essere: $C^n = (2 \pi i)^n $ ?
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