Esercizio tosto sui limiti
vi pongo questo esercizio sui limiti esercizio per noi molto arduo visto che nessuno del mio corso è stato in grado di svolgerlo
$\lim_{n \to \+infty}((logx)/x)^(1/x)$
abbiamo provato facendo lim di e elevato a uno su x per log dell'argomento ma ripeto nn è riuscito a NESSUNO del mio corso
spero che voi ci potrete dare uno spunto o un metodo per risolvere il limite
grazie
$\lim_{n \to \+infty}((logx)/x)^(1/x)$
abbiamo provato facendo lim di e elevato a uno su x per log dell'argomento ma ripeto nn è riuscito a NESSUNO del mio corso
spero che voi ci potrete dare uno spunto o un metodo per risolvere il limite
grazie
Risposte
è più facile di quanto sembri. Visto che siamo davanti ad una forma $0^0$ tutto sta al ricondursi al limite canonico $lim_(xtoo)x^x=1$, oppure, visto che qui si ha $xtooo$, al limite $lim_(xtooo)(1/x)^(1/x) = 1$. per fare ciò moltiplichiamo e dividiamo al'esponente per $lnx/x$ e si ottiene: $lim_(xtooo)(lnx/x)^((lnx/x)*x/(lnx)*1/x)$ il limite delle quantità fra parentesi fa $1$ per il limite notevole citato prima. Resta da verificare $lim_(xtooo)x/lnx*1/x = lim_(xtooo) 1/lnx = 0$. Quindi per quanto visto prima si ha $lim_(xtooo)(lnx/x)^(1/x) = 1^0 = 1$
io farei così:
(ti scrivo i passaggi senza il segno di limite, poi lo aggiungi tu, perchè vado di fretta)
allora
$(1/x*(logx))^(1/x) => (logx)^(1/x^2)$ (ho applicato la proprietà del logaritmo)
$(1/x^2)*(logx) => (logx)/(x^2)$
ora visto che nella gerarchia degli infinitesimi il $logx$ "perde" con $x^2$ allora la il $lim_(x->+oo)((logx)/(x^2)) = 0$
Credo che così si possa fare, ma non te lo assicuro al 100% in quanto sono anche io uno studente di matematica...
(ti scrivo i passaggi senza il segno di limite, poi lo aggiungi tu, perchè vado di fretta)
allora
$(1/x*(logx))^(1/x) => (logx)^(1/x^2)$ (ho applicato la proprietà del logaritmo)
$(1/x^2)*(logx) => (logx)/(x^2)$
ora visto che nella gerarchia degli infinitesimi il $logx$ "perde" con $x^2$ allora la il $lim_(x->+oo)((logx)/(x^2)) = 0$
Credo che così si possa fare, ma non te lo assicuro al 100% in quanto sono anche io uno studente di matematica...
"Lorin":
io farei così:
(ti scrivo i passaggi senza il segno di limite, poi lo aggiungi tu, perchè vado di fretta)
allora
$(1/x*(logx))^(1/x) => (logx)^(1/x^2)$ (ho applicato la proprietà del logaritmo)
$(1/x^2)*(logx) => (logx)/(x^2)$
ora visto che nella gerarchia degli infinitesimi il $logx$ "perde" con $x^2$ allora la il $lim_(x->+oo)((logx)/(x^2)) = 0$
Credo che così si possa fare, ma non te lo assicuro al 100% in quanto sono anche io uno studente di matematica...
questa proprietà dei logaritmi mi pare molto fantasiosa
scusa se ho $xlog2 => log2^x$?
Non si può fare....?
Non si può fare....?
"Lorin":
scusa se ho $xlog2 => log2^x$?
Non si può fare....?
allora, $xlog(2) => log(2^x)$ si questo si può fare. Ma non si può fare questo $xln(2) = (ln(2))^x$. Sono cose ben diverse.
ma il limite vale 0 o 1 ?
ah perchè tu dici, giustamente che se faccio come ho fatto io, intendo che $1/x$ sta sul log non sta sull'argomento del log.
Giusto....hai ragione...scusami...ho detto una ca***ta
Giusto....hai ragione...scusami...ho detto una ca***ta
"skaty":
ma il limite vale 0 o 1 ?
vale 1
scusami e a questo punto mi vieni da pensare, come mai il $lim_(x->0)(x^x)=1$?
Mi potresti mostrare i passaggi?
Te lo chiedo perchè mi interessa molto imparare queste cose e durante il corso di analisi I la prof non ci ha mai mostrato questa particolarità!....grazie
Mi potresti mostrare i passaggi?
Te lo chiedo perchè mi interessa molto imparare queste cose e durante il corso di analisi I la prof non ci ha mai mostrato questa particolarità!....grazie
"Lorin":
ah perchè tu dici, giustamente che se faccio come ho fatto io, intendo che $1/x$ sta sul log non sta sull'argomento del log.
Giusto....hai ragione...scusami...ho detto una ca***ta
tranquillo le distrazioni capitano a tutti
"Lorin":
scusami e a questo punto mi vieni da pensare, come mai il $lim_(x->0)(x^x)=1$?
Mi potresti mostrare i passaggi?
Te lo chiedo perchè mi interessa molto imparare queste cose e durante il corso di analisi I la prof non ci ha mai mostrato questa particolarità!....grazie
grazie e scusa ancora
"Lorin":
scusami e a questo punto mi vieni da pensare, come mai il $lim_(x->0)(x^x)=1$?
Mi potresti mostrare i passaggi?
Te lo chiedo perchè mi interessa molto imparare queste cose e durante il corso di analisi I la prof non ci ha mai mostrato questa particolarità!....grazie
Nota che $x^x = e^(xlnx)$. Ora, $x$ è un infinitesimo di ordine $1$ per $xto0$ mentre $lnx$ è un infinito di ordine minore di qualsiasi potenza di $1/x$ per $xto0$. Dall'algebra degli infinitesimi e infiniti si ha che quel prodotto è un infinitesimo di ordine 1 meno un infinito di ordine minore di qualsiasi altro, il risultato è un infinitesimo di ordine minore di 1 ma maggiore di ogni ordine minore di 1 (questa frase può sembrare ambigua e quasi contraddittoria ma dipende dal fatto che i numeri reali non bastano a contare gli ordini di infinitesimo e infinito). in soldoni, la velocità con cui $lnx to -oo$ per $xto0$ non ce la fa a contrastare la velocità con cui $xto0$ per $xto0$ . Quindi $x*lnx to0$ per $xto0$ da cui si ottiene la tesi: $lim_(xto0)e^(xlnx) = e^0 =1$. Esiste una dimostrazione molto più "diretta" che richiede una facile applicazione del teorema di De L' Hopital, lascio trovarla a te se vuoi qualche consiglio chiedi pure
.
bene....ti ringrazio.
Per farla con Hopital basta che rende l'esponente $xlogx => logx/(1/x)$ giusto?
Per farla con Hopital basta che rende l'esponente $xlogx => logx/(1/x)$ giusto?
"Lorin":
bene....ti ringrazio.
Per farla con Hopital basta che rende l'esponente $xlogx => logx/(1/x)$ giusto?
esatto
bene grazie
Per dimostrarlo basta che scrivi
$x^x = e^(x*ln (x))$
siccome
$x*ln(x) -> 0$
e per vederlo usa de l'Hopital o confronta gli infiniti.
Hai che
$lim_(x->0) x^x = lim_(x->0) e^(x*ln(x)) = e^0 = 1$
$x^x = e^(x*ln (x))$
siccome
$x*ln(x) -> 0$
e per vederlo usa de l'Hopital o confronta gli infiniti.
Hai che
$lim_(x->0) x^x = lim_(x->0) e^(x*ln(x)) = e^0 = 1$
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