Esercizio topologia insieme
non riesco a capire come approcciare alla risoluzione di questo esercizio:
L’insieme ottenuto dalla striscia chiusa ${(x,y) ∈ RR^2 : x ∈ [−1,1]}$ togliendovi il cerchio
unitario aperto ${(x,y)∈RR^2 : x^2 + y^2 < 1}$ è:
aperto, connesso, semplicemente connesso, chiuso, né aperto né chiuso.
Se non sbaglio l'area dovrebbe essere quella esterna al cerchio di raggio $1$ con centro $(0,0)$ compresa tra le rette verticali nell'intervallo $[−1,1]$
Insieme aperto: devo capire se, preso un punto qualsiasi, esiste un suo intorno tutto contenuto nell'insieme. Mi verrebbe da dire di si perché se prendo un qualsiasi punto, posso sempre prendere un raggio $delta$ "infinitesimale" che individua l'intorno del punto prescelto che sia contenuto nell'insieme. Sbaglio?
Connesso: direi di no, in quanto se unissi due punti dell'insieme non sempre la curva appartiene all'insieme.
chiuso non direi perché nella parte superiore ed inferiore l'insieme corre all'infinito.
Che conclusioni ho tratto? Sbagliate? Grazie.
L’insieme ottenuto dalla striscia chiusa ${(x,y) ∈ RR^2 : x ∈ [−1,1]}$ togliendovi il cerchio
unitario aperto ${(x,y)∈RR^2 : x^2 + y^2 < 1}$ è:
aperto, connesso, semplicemente connesso, chiuso, né aperto né chiuso.
Se non sbaglio l'area dovrebbe essere quella esterna al cerchio di raggio $1$ con centro $(0,0)$ compresa tra le rette verticali nell'intervallo $[−1,1]$
Insieme aperto: devo capire se, preso un punto qualsiasi, esiste un suo intorno tutto contenuto nell'insieme. Mi verrebbe da dire di si perché se prendo un qualsiasi punto, posso sempre prendere un raggio $delta$ "infinitesimale" che individua l'intorno del punto prescelto che sia contenuto nell'insieme. Sbaglio?
Connesso: direi di no, in quanto se unissi due punti dell'insieme non sempre la curva appartiene all'insieme.
chiuso non direi perché nella parte superiore ed inferiore l'insieme corre all'infinito.
Che conclusioni ho tratto? Sbagliate? Grazie.
Risposte
"zio_mangrovia":
Insieme aperto: devo capire se, preso un punto qualsiasi, esiste un suo intorno tutto contenuto nell'insieme. Mi verrebbe da dire di si perché se prendo un qualsiasi punto, posso sempre prendere un raggio δ "infinitesimale" che individua l'intorno del punto prescelto che sia contenuto nell'insieme.
Prendi come punto $(1,2)$ (o in generale $(-1,y_0)$, $(1,y_0)$). Dimmi te se quello che dici è vero.
Sulla connessione ci siamo: c'è un buco gigante proprio nel mezzo
"Weierstress":
Prendi come punto $(1,2)$ (o in generale $(-1,y_0)$, $(1,y_0)$). Dimmi te se quello che dici è vero.
uhhhhhh !!!! mi ero confuso con l'area interna del cerchio!!!! pardon, anzi thanks per avermi aperto gli occhi!
Sulla connessione ci siamo: c'è un buco gigante proprio nel mezzo
Sulla connessione se non sbaglio tiro una linea tra due punti qualsiasi ed il segmento deve far parte dell'insieme, corretto?
Se è semplicemente connesso invece si può applicare il gioco del cappio che stringendolo non devono rimanere dei buchi; leggendo in rete sull'argomento non ho ben capito perché l'insieme $RR^2\{0}$ è semplicemente connesso, sapete aiutarmi?
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