Esercizio teorico sulle funzioni integrali

[irelimax]

Ciao ragazzi,
sono alle prese con un esercizio di analisi 1 che sembra non avere soluzione. Il testo dice:
Siano $f,\alpha ,\beta:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tre funzioni continue. Si supponga che la $f$ sia non negativa e che non sia identicamente nulla in alcun intervallo di $\mathbb{R}$. Sia $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ la funzione definita ponendo

$$g(x)=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(t)\ dt$$

per ogni $x\in\mathbb{R}$. Si supponga che la funzione $g$ sia costante.
Si provi che $\alpha(x)=\beta(x)$ per ogni $x\in\mathbb{R}$.

L'unica cosa che posso dedurre è che, poichè la $g$ è costante, $g'=0$ e quindi:

$$g'(x)=f(\beta(x))\cdot \beta'(x)-f(\alpha(x))\cdot\alpha'(x)=0$$

Questa cosa un pò mi turba dato che per ipotesi $\alpha(x)$ e $\beta(x)$ sono solo continue e non derivabili.
In ogni caso non saprei come continuare. Avete qualche idea?

[Emar1]

Per le ipotesi fatte su $f$ hai, per $x \in RR$:
\[\alpha (x) = \beta (x) \iff g(x) = 0 \]
Se riesci a provare che da $g$ costante segue $g$ nulla dovresti aver finito.
Magari un ragionamento per assurdo potrebbe aiutare...

[Emar1]

Però non mi sembra sia vero.
Prendiamo \(f(t) = c \in \mathbb{R}\) e $\alpha$ e $\beta$ tali che \(\forall x \in \mathbb{R} \ \beta(x) - \alpha(x) = h \in \mathbb{R}\).

Abbiamo:
\[g(x) = \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(t) dt = \int_{x}^{x + h} c dt = c \cdot (x + h - x) = ch\]
$g$ è costante ma \(\beta(x) \not = \alpha(x)\)

Che dici?

[irelimax]

"Emar":Però non mi sembra sia vero.
Prendiamo \(f(t) = c \in \mathbb{R}\) e $\alpha$ e $\beta$ tali che \(\forall x \in \mathbb{R} \ \beta(x) - \alpha(x) = h \in \mathbb{R}\).

Abbiamo:
\[g(x) = \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(t) dt = \int_{x}^{x + h} c dt = c \cdot (x + h - x) = ch\]
$g$ è costante ma \(\beta(x) \not = \alpha(x)\)

Che dici?

In effetti il tuo ragionamento non fa una piega. Ne discuterò con il prof. Grazie mille Emar!

[Emar1]

Prego! Mi fa piacere se posti aggiornamenti