Esercizio teorico primitiva

[ElCastigador]

Come posso risolverlo?

F primitiva di f in [a,b] $ rArr $ $ AA x in [a,b]EE yin [a,b]:F(x)=f(y)(x-a)+F(a) $

[marcosocio]

Io l'ho pensata così: sotto l'ipotesi che $f$ sia continua in $[a,b]$, per il teorema della media integrale si ha che esiste almeno un $y\in[a,b]$ tale che $f(y)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\ dx$.

Per un corollario del teorema fondamentale del calcolo integrale. l'espressione sopra può essere riscritta così $f(y)=\frac{1}{b-a}(F(b)-F(a))$, dove $F$ è una primitiva di $f$. Con un paio di passaggi algebrici e sostituendo l'estremo $b$ con $x$ si ottiene quanto cercato.

Spero sia tutto corretto!

[Rigel1]

Anche senza ipotesi di continuità su \(f\), basta applicare il teorema di Lagrange a \(F\) nell'intervallo \([a,x]\).