Esercizio Teorico - Funzioni continue, densità

[Seneca1]

Esercizio: Siano $f, g$ definite e continue su $X$ metrico.
Dimostrare che se assumono gli stessi valori su un sottoinsieme $T$ denso in $X$ coincidono.


Dimostrazione: (spoiler)

La situazione è la seguente: supponiamo che in ciascun punto $t$ di $T$ si abbia $f(t) = g(t)$. Allora $AA x in X$, la continuità costringe ad essere $f(x) = g(x)$.

Consideriamo $xi in X$ e $f(xi) ,g(xi)$. Per l'ipotesi di continuità:

$lim_(x -> xi) f(x) = f(xi)$ , $lim_(x -> xi) g(x) = g(xi)$

Ma $xi$ è un punto di accumulazione anche per $T subseteq X$ (per la faccenda della densità). Allora posso considerare i limiti delle restrizioni:

$lim_(t -> xi) f_T (x) = f(xi)$ , $lim_(t -> xi) g_T (x) = g(xi)$ . Ma $g_T , f_T$ sono, per ipotesi, la stessa funzione. Allora i due limiti delle restrizioni devono coincidere. Quindi $f(xi) = f(xi)$.

E' tutto corretto? Io ho studiato il teorema del limite della restrizione per quanto riguarda funzioni da $A subseteq RR$ in $RR$. Vale anche in spazi metrici, così come l'ho utilizzato?

[Antimius]

Sì, credo che vada bene.

[dissonance]

Secondo me non è bellissimo come svolgimento, però. Stai lasciando senza dimostrazione proprio il fatto più importante, e cioè che

$lim_{x \to xi} f(x)=lim_{t to xi, t in T}f|_T(t)$.

Non è ovvio questo fatto, e inoltre se vale questo allora il risultato che stai cercando di dimostrare è banale.

Invece, perché non ragioni per successioni? Il punto $xi$ può essere approssimato con una successione $t_n \in T$ (densità). Allora ...

[Seneca1]

Io, come ho scritto, ho studiato il seguente teorema:

Teorema: $f : A -> RR$ , siano $bar x , L in bar RR$.

Sia $B subseteq A$ e sia $bar x in D(B)$ (cioè sia $bar x$ un punto di accumulazione per $B$).

Se $lim_{x \to bar x} f(x) = L $ , allora $lim_{x \to bar x} f_B (x) = L$.


Quindi è un risultato che posso assumere tranquillamente. Il problema credo che sia che $A$ non è un generico spazio metrico. Ma forse non sarebbe difficile generalizzare questo teorema.

"dissonance": Invece, perché non ragioni per successioni? Il punto $xi$ può essere approssimato con una successione $t_n \in T$ (densità). Allora ...

Considero $(t_n)_n$ tale che $t_n -> xi in X$. Allora $lim_n f(t_n) = f(xi)$ , e naturalmente $lim_n g(t_n) = g(xi)$. Ma dal momento che $f$ e $g$ sono la stessa funzione su $T$ (e $t_n in T$), i due limiti devono coincidere. Dunque $g(xi) = f(xi)$.

Così mi sembra più genuino.

Grazie ad entrambi...