Esercizio teorico - f. continua, monotonia

[Seneca1]

Esercizio: Sia $f : [a, b] -> RR$ crescente; se $f$ assume tutti i valori fra $f(a)$ ed $f(b)$ allora $f$ è continua.

Idee:

Consideriamo l'intervallo $[a, t_0]$ , con $a < t_0 < b$ .

$f$ monotona crescente su $[a, t_0[$ $Rightarrow$ $lim_(x -> t_0^-) f(x) = "sup" { f(x) : x in [a, t_0[ } = alpha$

Quindi il limite esiste in ogni punto $t_0$ dell'intervallo $[a, b]$. Distinguiamo due casi:

1) $f(t_0) < lim_(x -> t_0^-) f(x) = alpha$

Poichè $alpha$ è il sup dell'insieme ${ f(x) : x in [a, t_0[ }$, fissato $epsilon = alpha - f(t_0)$ dovrebbe esistere $bar x in [a, t_0[$ tale che $f(t_0) < f(bar x) <= alpha$.
Ma questo è in contraddizione con la crescenza di $f$: infatti si avrebbe che $bar x < t_0$ ma $f(bar x) > f(t_0)$.

2) $f(t_0) > lim_(x -> t_0^-) f(x) = alpha$

Fisso $epsilon < f(t_0) - alpha$ e uso la def. di limite:

$EE delta > 0 : AA x , x in ] t_0 - delta , t_0 [ Rightarrow alpha - epsilon < f(x) < alpha + epsilon < f(t_0)$

Questo significa che per $AA x in ] t_0 - delta , t_0 [$ , $f(x) in ] alpha - epsilon , alpha + epsilon [$ ; e in $t_0$ si ha che $f$ vale $f(t_0)$.
Ma, attesa la monotonia di $f$, nessun punto in $[a , b ]$ assume valori tra $] alpha + epsilon , f(t_0) [ subseteq [f(a) , f(b)]$.


1), 2) $Rightarrow f(t_0) = lim_(x -> t_0^-) f(x)$ , $AA t_0 in [a , b]$ . Cioè $f$ è continua su $[a , b]$.

E' corretto?

[Antimius]

Sì, mi sembra corretto.
Puoi anche dire che una funzione monotona in un intervallo chiuso e limitato ammette solo discontinuità di prima specie (però, ovvio, devi dare questo come fatto già dimostrato; la tua dimostrazione è sicuramente più completa). Quindi se la funzione non fosse continua, avresti $l_s>l_d$ (o viceversa) per la monotonia, dove ho indicato rispettivamente limite sinistro e destro nell'eventuale punto di discontinuità. Ma allora la funzione non assume valori nell'intervallo $(l_s,l_d)$. Contraddizione

[Seneca1]

Sì, così mi sembra più semplice e più intuitivo. Grazie.

[Antimius]

Di niente

[gugo82]

Tanto per "cultura", questo teorema di solito si chiama inverso del teorema di Bolzano per le funzioni monotone (ricordo che il teorema di Bolzano, o teorema dei valori intermedi, è quello che assicura che una funzione continua prende tutti i valori compresi tra il suo estremo inferiore e quello superiore).

[Antimius]

Ah, davvero? Non sapevo che fosse di Bolzano quel teorema. Sapevo soltanto Darboux (forse mi confondo con l'analogo teorema per la funzione derivata? o c'entra anche lui? )

[gugo82]

@Antimius: Che io sappia, il teorema dei valori intermedi è tradizionalmente attribuito a Bernhard Bolzano (pure su WIKI)... Tuttavia non ho certezza che sia suo.

[Antimius]

Ok. Comunque, ho controllato, il teorema di Darboux è quello che dice che la funzione derivata di una funzione derivabile in un intervallo $[a,b]$ assume tutti i valori intermedi.

[gugo82]

Certo... Darboux non c'entra nulla con questo teorema, che è quasi sicuramente precedente (Bolzano muore nel 1848, quando Darboux aveva circa sei anni).

[Antimius]