Esercizio teorico di Analisi II
Salve a tutti, 
Scrivo questo messaggio per chiedere aiuto nella risoluzione di un esercizio teorico di Analisi 2.
L'esercizio è preso Lezioni di Analisi Matematica 2 di Giovanni Prodi, dal capitolo 30 - Teoria Geometrica delle equazioni differenziali al 1°ordine ed è il seguente:
6) Sia f una funzione di classe C2 definita nel disco D = {(x,y): x^2+y^2<=1}, tale che sia f(0,0) = 0 e |Vf| >= 1 in ogni punto di D.
Si dimostre che in D esiste almeno un punto (x,y) tale che sia f(x,y) >= 1 ed almeno un punto (x,y) tale che sia f(x,y) <= -1.
(Si consideri la soluzione del sistema differenziale dP/dt = Vf(P) tale che P(0) = 0,...).
con Vf ho indicato il gradiente di f.
Non so veramente come impostarlo.
Ringrazio in anticipo per le risposte.
Scrivo questo messaggio per chiedere aiuto nella risoluzione di un esercizio teorico di Analisi 2.
L'esercizio è preso Lezioni di Analisi Matematica 2 di Giovanni Prodi, dal capitolo 30 - Teoria Geometrica delle equazioni differenziali al 1°ordine ed è il seguente:
6) Sia f una funzione di classe C2 definita nel disco D = {(x,y): x^2+y^2<=1}, tale che sia f(0,0) = 0 e |Vf| >= 1 in ogni punto di D.
Si dimostre che in D esiste almeno un punto (x,y) tale che sia f(x,y) >= 1 ed almeno un punto (x,y) tale che sia f(x,y) <= -1.
(Si consideri la soluzione del sistema differenziale dP/dt = Vf(P) tale che P(0) = 0,...).
con Vf ho indicato il gradiente di f.
Non so veramente come impostarlo.
Ringrazio in anticipo per le risposte.
Risposte
Ti invito "trasporre" l'esercizio in $RR$ invece che in $RR^2$, dove i ragionamenti si complicano parecchio e vedrai che è molto intuitivo.
Abbiamo dunque una funzione $y=f(x)$ di classe $CC^2$, definita in $x\in[-1,1]$.
Sappiamo che $|y'|>=1$.
Beh, nell'origine questa funzione avrà derivata $-1$ o $+1$. Prendiamo il caso $+1$, poi con ragionamenti analoghi è immediato l'altro caso. Facciamo un'ipotesi non restrittiva, cioè che $y(0)=0$.
Ora, la derivata nell'origine è $+1$ e siccome è di classe $CC^2$, negli altri punti la derivata continua ad essere $y'>=1$, ovvero, non c'è un punto in cui la funzione ha un punto spigoloso e inverte la pendenza verso il basso.
Dovrebbe essere immediato vedere che è una funzione lipschitiziana, e quindi raggiunge il valore 1, nel caso peggiore nel punto $x=1$. Ovvero, nel caso peggiore $y'=1$, $y(1)=1$, ma se in qualche intervallo $y'>1$, allora il valore 1 viene raggiunto anche "prima", con $x<1$.
Ora, sostituendo differenziabilità a derivabilità, gradiente a derivata, dei ragionementi del tutto simili si fanno nel caso $RR^2$.
Abbiamo dunque una funzione $y=f(x)$ di classe $CC^2$, definita in $x\in[-1,1]$.
Sappiamo che $|y'|>=1$.
Beh, nell'origine questa funzione avrà derivata $-1$ o $+1$. Prendiamo il caso $+1$, poi con ragionamenti analoghi è immediato l'altro caso. Facciamo un'ipotesi non restrittiva, cioè che $y(0)=0$.
Ora, la derivata nell'origine è $+1$ e siccome è di classe $CC^2$, negli altri punti la derivata continua ad essere $y'>=1$, ovvero, non c'è un punto in cui la funzione ha un punto spigoloso e inverte la pendenza verso il basso.
Dovrebbe essere immediato vedere che è una funzione lipschitiziana, e quindi raggiunge il valore 1, nel caso peggiore nel punto $x=1$. Ovvero, nel caso peggiore $y'=1$, $y(1)=1$, ma se in qualche intervallo $y'>1$, allora il valore 1 viene raggiunto anche "prima", con $x<1$.
Ora, sostituendo differenziabilità a derivabilità, gradiente a derivata, dei ragionementi del tutto simili si fanno nel caso $RR^2$.
Allora, vediamo di smontare l'esercizio nelle ipotesi in cui è formulato e non in ipotesi di comodo, dove chiaramente è tutto straordinariamente più semplice.
Cominciamo con una banalità: la funzione non è costante, altrimenti avrebbe gradiente nullo internamente al disco.
Per continuità su un compatto (il disco unitario) la funzione ha in \(\displaystyle \mathbb{D} \) punti di massimo assoluto e minimo assoluto.
Questi punti sono necessariamente collocati sulla frontiera di \(\displaystyle \mathbb{D} \): se fossero collocati all'interno del disco lì il gradiente si annullerebbe, assurdo.
Supponiamo ora, per assurdo, che sulla frontiera di \(\displaystyle \mathbb{D} \) (dunque anche internamente a \(\displaystyle \mathbb{D} \)) i valori assunti da \(\displaystyle f \) siano sempre strettamente minori di uno.
Sia inoltre \(\displaystyle \gamma:[0,1]\to\mathbb{D} \) la curva con le proprietà che \(\displaystyle \gamma(0)=(0,0),\gamma(1)\in\partial\mathbb{D} \) e
\(\displaystyle \forall t\in[0,1],\quad \gamma'(t) = (\nabla f)(\gamma(t)), \)
ossia la curva di flusso del gradiente a partire dall'origine. Poiché il modulo del gradiente è maggiore o uguale a uno e le tangenti a \(\displaystyle \gamma \) sono per costruzione parallele al gradiente, si ha:
\(\displaystyle |f(\gamma(1))-f(\gamma(0))|\geq L(\gamma) \geq 1, \)
dove \(\displaystyle L(\gamma) \) denota la lunghezza di \(\displaystyle \gamma \). Ma il membro sinistro dell'ultima equazione è minore di uno per le assunzioni fatte, assurdo. La dimostrazione che \(\displaystyle f \) deve assumere almeno un valore \(\displaystyle \leq -1 \) su \(\displaystyle \partial \mathbb{D} \) è perfettamente analoga. Si noti che la rettificabilità di \(\displaystyle \gamma \) discende dal fatto che \(\displaystyle \gamma \) è di classe \(\displaystyle C^1 \) in quanto \(\displaystyle f \) è di classe \(\displaystyle C^2 \); l'esistenza di \(\displaystyle \gamma \) dalla risolubilità del problema di Cauchy.
Stiamo essenzialmente utilizzando la disuguaglianza isoperimetrica o la disuguaglianza di Poincarè-Wirtinger.
Ora non venitemi a raccontare che questo è "analogo" al caso monodimensionale, perché mi sento autorizzato a smascherare il bluff
Cominciamo con una banalità: la funzione non è costante, altrimenti avrebbe gradiente nullo internamente al disco.
Per continuità su un compatto (il disco unitario) la funzione ha in \(\displaystyle \mathbb{D} \) punti di massimo assoluto e minimo assoluto.
Questi punti sono necessariamente collocati sulla frontiera di \(\displaystyle \mathbb{D} \): se fossero collocati all'interno del disco lì il gradiente si annullerebbe, assurdo.
Supponiamo ora, per assurdo, che sulla frontiera di \(\displaystyle \mathbb{D} \) (dunque anche internamente a \(\displaystyle \mathbb{D} \)) i valori assunti da \(\displaystyle f \) siano sempre strettamente minori di uno.
Sia inoltre \(\displaystyle \gamma:[0,1]\to\mathbb{D} \) la curva con le proprietà che \(\displaystyle \gamma(0)=(0,0),\gamma(1)\in\partial\mathbb{D} \) e
\(\displaystyle \forall t\in[0,1],\quad \gamma'(t) = (\nabla f)(\gamma(t)), \)
ossia la curva di flusso del gradiente a partire dall'origine. Poiché il modulo del gradiente è maggiore o uguale a uno e le tangenti a \(\displaystyle \gamma \) sono per costruzione parallele al gradiente, si ha:
\(\displaystyle |f(\gamma(1))-f(\gamma(0))|\geq L(\gamma) \geq 1, \)
dove \(\displaystyle L(\gamma) \) denota la lunghezza di \(\displaystyle \gamma \). Ma il membro sinistro dell'ultima equazione è minore di uno per le assunzioni fatte, assurdo. La dimostrazione che \(\displaystyle f \) deve assumere almeno un valore \(\displaystyle \leq -1 \) su \(\displaystyle \partial \mathbb{D} \) è perfettamente analoga. Si noti che la rettificabilità di \(\displaystyle \gamma \) discende dal fatto che \(\displaystyle \gamma \) è di classe \(\displaystyle C^1 \) in quanto \(\displaystyle f \) è di classe \(\displaystyle C^2 \); l'esistenza di \(\displaystyle \gamma \) dalla risolubilità del problema di Cauchy.
Stiamo essenzialmente utilizzando la disuguaglianza isoperimetrica o la disuguaglianza di Poincarè-Wirtinger.
Ora non venitemi a raccontare che questo è "analogo" al caso monodimensionale, perché mi sento autorizzato a smascherare il bluff
[IMHO]
Io invece sono d'accordo con Quinzio. Essenzialmente l'idea di questo esercizio è monodimensionale, una volta che uno considera la restrizione di $f$ alla curva $\gamma$ (curva di flusso del gradiente, come giustamente la chiami tu). Questa idea manca nel post di Quinzio ma è presente nel libro come hint.
Inoltre credo non sia saggio risolvere completamente un esercizio quando qualcuno chiede espressamente solo "un aiuto".
[/IMHO]
A parte queste questioni soggettive, il tuo ultimo remark sulla disuguaglianza isoperimetrica mi risulta oscuro. Puoi spiegarti meglio?
Io invece sono d'accordo con Quinzio. Essenzialmente l'idea di questo esercizio è monodimensionale, una volta che uno considera la restrizione di $f$ alla curva $\gamma$ (curva di flusso del gradiente, come giustamente la chiami tu). Questa idea manca nel post di Quinzio ma è presente nel libro come hint.
Inoltre credo non sia saggio risolvere completamente un esercizio quando qualcuno chiede espressamente solo "un aiuto".
[/IMHO]
A parte queste questioni soggettive, il tuo ultimo remark sulla disuguaglianza isoperimetrica mi risulta oscuro. Puoi spiegarti meglio?
Ringrazio tutti per le gentili risposte, complimenti per la bella dimostrazione @elianto84.
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