Esercizio teorico - Convessità
Esercizio: $AA n in NN$ sia $f_n$ una funzione convessa definita su $RR$.
$AA x in RR$ sia $bar(f) (x) = "sup"_(n in NN) f_n (x)$. Si provi che $bar f$ è convessa.
$E = { f_n , n in NN }$ è un insieme di funzioni convesse.
L'unica idea che mi è venuta è quella di considerare la famiglia $g_n$ delle rette di appoggio al grafico di $f_n$ nel punto $x$ e definire $bar(g)(x) = "sup"_(n in NN) g_n (x)$, e provare che si tratta della retta di appoggio al grafico di $bar(f)$ nel punto $x$ (magari per assurdo, supponendo che in un punto $x_0 > x$ si abbia $bar(f) < bar(g)$ e raggiungendo la contraddizione passando per le proprietà di convessità delle $f_n$).
Che ne pensate?
$AA x in RR$ sia $bar(f) (x) = "sup"_(n in NN) f_n (x)$. Si provi che $bar f$ è convessa.
$E = { f_n , n in NN }$ è un insieme di funzioni convesse.
L'unica idea che mi è venuta è quella di considerare la famiglia $g_n$ delle rette di appoggio al grafico di $f_n$ nel punto $x$ e definire $bar(g)(x) = "sup"_(n in NN) g_n (x)$, e provare che si tratta della retta di appoggio al grafico di $bar(f)$ nel punto $x$ (magari per assurdo, supponendo che in un punto $x_0 > x$ si abbia $bar(f) < bar(g)$ e raggiungendo la contraddizione passando per le proprietà di convessità delle $f_n$).
Che ne pensate?
Risposte
Mah, magari ci arrivi pure... Ma è complicato. Io proverei a fare un ragionamento geometrico. Per definizione una funzione è convessa se e solo se il proprio epigrafico (=${(x, y)\ |\ y>f(x)}$) è convesso. Com'è fatto l'epigrafico di $bar{f}$?
"dissonance":
Mah, magari ci arrivi pure... Ma è complicato. Io proverei a fare un ragionamento geometrico. Per definizione una funzione è convessa se e solo se il proprio epigrafico (=${(x, y)\ |\ y>f(x)}$) è convesso. Com'è fatto l'epigrafico di $bar{f}$?
Sarà convesso. Ma come lo dimostro?
Presi due punti dell'epigrafico $P, Q$, il segmento $PQ$ è interno all'epigrafico. Se così non fosse, una parte del segmento $PQ$ starebbe al di sotto di $bar(f)$. Ma $bar(f)$ è $"sup"$, allora esisterebbe $f_(bar n)$ convessa tale che $f_(bar n) nn PQ$ sia non vuoto (se mi è concessa questa notazione). Ma $P$ e $Q$ sono anche interni all'epigrafico di $f_(bar n)$ e quindi l'assurdo.
Beh, dai, non è complicatissimo.
Per ogni $x,y\in\mathbb{R}$ e $t\in [0,1]$ hai che
$f_n((1-t)x + ty) \le (1-t) f_n(x) + t f_n(y) \le (1-t) \bar{f}(x) + t \bar{f}(y)$.
Adesso basta fare il sup in $n$.
Per ogni $x,y\in\mathbb{R}$ e $t\in [0,1]$ hai che
$f_n((1-t)x + ty) \le (1-t) f_n(x) + t f_n(y) \le (1-t) \bar{f}(x) + t \bar{f}(y)$.
Adesso basta fare il sup in $n$.
Oppure si può osservare che l'epigrafico di $bar{f}$ è l'intersezione degli epigrafici delle $f_n$, e l'intersezione di insiemi convessi è un insieme convesso. Certo, il metodo proposto da Rigel è più diretto... Però ragionando sugli epigrafici si può visualizzare facilmente il risultato.
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