Esercizio teorico convergenza integrale
Buonasera a tutti, devo risolvere questo esercizio:
Sia f una funzione continua pari su $RR$ con asintoto orizzontale l'asse delle x. Assumendo che $f(1/x)$ si estenda ad una funzione due volte derivabile su $RR$, mostrare che l'integrale improprio $\int_(-oo)^(+oo)f(x)$ converge.
Mi potete aiutare con qualche suggerimento?Io non capisco proprio da dove iniziare...Grazie mille, davvero!!!
Sia f una funzione continua pari su $RR$ con asintoto orizzontale l'asse delle x. Assumendo che $f(1/x)$ si estenda ad una funzione due volte derivabile su $RR$, mostrare che l'integrale improprio $\int_(-oo)^(+oo)f(x)$ converge.
Mi potete aiutare con qualche suggerimento?Io non capisco proprio da dove iniziare...Grazie mille, davvero!!!
Risposte
Puoi iniziare usando ciò che sai.
Per ipotesi, esiste una funzione \(\varphi\in C^2(\mathbb{R})\) tale che \(f(1/x) = \varphi(x)\) per ogni \(x\neq 0\). Inoltre:
1) \(f\) pari \(\Longrightarrow\) \(\varphi\) pari; in particolare questo implica che \(\varphi'(0) = 0\);
2) \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = 0 \quad \Longrightarrow\quad \varphi(0) = 0\).
Di conseguenza, per \(x\to +\infty\),
\[
f(x) = \varphi(1/x) = \varphi(0) + \varphi'(0) \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \varphi''(0) \frac{1}{x^2} + o (1/x^2) = \frac{1}{2} \varphi''(0) \frac{1}{x^2} + o (1/x^2).
\]
Questo dovrebbe bastare per concludere.
Per ipotesi, esiste una funzione \(\varphi\in C^2(\mathbb{R})\) tale che \(f(1/x) = \varphi(x)\) per ogni \(x\neq 0\). Inoltre:
1) \(f\) pari \(\Longrightarrow\) \(\varphi\) pari; in particolare questo implica che \(\varphi'(0) = 0\);
2) \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = 0 \quad \Longrightarrow\quad \varphi(0) = 0\).
Di conseguenza, per \(x\to +\infty\),
\[
f(x) = \varphi(1/x) = \varphi(0) + \varphi'(0) \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \varphi''(0) \frac{1}{x^2} + o (1/x^2) = \frac{1}{2} \varphi''(0) \frac{1}{x^2} + o (1/x^2).
\]
Questo dovrebbe bastare per concludere.
Alternativamente,fermo restante la simbologia e le osservazioni di Rigel,
potresti osservare innanzitutto che,vista l'ipotizzata parità della tua funzione,
il problema della sua integrabilità in $RR$ si riconduce a quello dell'integrabilità di $f$ in $[0,+oo)$:
con considerazioni abbastanza semplici legate all'additività dell'integrale esteso ad $RR$ è infatti possibile verificare che,
se $int_0^(+oo)f(x) dx$ converge ad un numero $l in RR$,allora il tuo integrale converge a $2l in RR$,
mentre se $int_0^(+oo)f(x) dx$ diverge(oscilla) allora il tuo integrale diverge(oscilla(*)).
Ciò detto,indicata con $F(x)=int_1^x |f(t)| dt $ la funzione integrale relativa alla funzione $f$
(continua in $[0,+oo)$ nella tua hp..) ed al punto $x_0=1$,nota come
(ricordato che per Torricelli-Barrow la $F$ è primitiva di $|f|$ ed invocato il teorema fondamentale del calcolo integrale):
$int_0^p f(t) dt=F(p)-F(0)$ $AAp in [0,+oo)$
(chiaramente $F(0) in RR$,perchè la $|f|$ è continua in $RR$ e dunque in $[0,1]sube RR$)$rArr$
$rArr EElim_(p to +oo)int_0^p |f(t)| dt=lim_(p to +oo)[F(p)-F(0)]=lim_(z to 0^+)[F(1/z)-F(0)]=$
$=lim_(z to 0^+)[int_1^(1/z) |f(t)| dt-F(0)]=lim_(z to 0^+)[int_1^z |f(1/u)|(-1/(u^2)) du -F(0)]=lim_(z to 0^+)[int_z^1 (|phi(u)|)/(u^2) du-F(0)]=l'-F(0) in RR$
(ciò perchè,appunto,$EElim_(u to 0^+)((|phi(u)|)/(u^2))/(1/(u^(1/2)))=lim_(u to 0^+)(|phi(u)|)/(u^2)*sqrt(u)=$
(quì basta applicare il Marchese due volte..)$=..=1/2|phi''(0)|*0=0 inRR rArr$
$rArrint_0^1|phi(u)| du$,visto che è nullo il limite appena calcolato ed è convergente $int_0^1 1/(u^(1/2)) du $,
converge ad un $m$,e pertanto la $phi$ è assolutamente convergente in $(0,1]$ e,dunque,ivi convergente ad un certo $l' inRR$).
Ne desumiamo che la $f$ è assolutamente integrabile,e dunque integrabile,in $[0,+oo)$,
e conseguentemente,per il preambolo iniziale,anche in $RR$:
spero di non aver fatto qualche e/orrore,ma pure così dovresti esserci..
Saluti dal web.
(*)L'oscillazione,se fossi curioso,la desumi in quel caso per assurdo..
potresti osservare innanzitutto che,vista l'ipotizzata parità della tua funzione,
il problema della sua integrabilità in $RR$ si riconduce a quello dell'integrabilità di $f$ in $[0,+oo)$:
con considerazioni abbastanza semplici legate all'additività dell'integrale esteso ad $RR$ è infatti possibile verificare che,
se $int_0^(+oo)f(x) dx$ converge ad un numero $l in RR$,allora il tuo integrale converge a $2l in RR$,
mentre se $int_0^(+oo)f(x) dx$ diverge(oscilla) allora il tuo integrale diverge(oscilla(*)).
Ciò detto,indicata con $F(x)=int_1^x |f(t)| dt $ la funzione integrale relativa alla funzione $f$
(continua in $[0,+oo)$ nella tua hp..) ed al punto $x_0=1$,nota come
(ricordato che per Torricelli-Barrow la $F$ è primitiva di $|f|$ ed invocato il teorema fondamentale del calcolo integrale):
$int_0^p f(t) dt=F(p)-F(0)$ $AAp in [0,+oo)$
(chiaramente $F(0) in RR$,perchè la $|f|$ è continua in $RR$ e dunque in $[0,1]sube RR$)$rArr$
$rArr EElim_(p to +oo)int_0^p |f(t)| dt=lim_(p to +oo)[F(p)-F(0)]=lim_(z to 0^+)[F(1/z)-F(0)]=$
$=lim_(z to 0^+)[int_1^(1/z) |f(t)| dt-F(0)]=lim_(z to 0^+)[int_1^z |f(1/u)|(-1/(u^2)) du -F(0)]=lim_(z to 0^+)[int_z^1 (|phi(u)|)/(u^2) du-F(0)]=l'-F(0) in RR$
(ciò perchè,appunto,$EElim_(u to 0^+)((|phi(u)|)/(u^2))/(1/(u^(1/2)))=lim_(u to 0^+)(|phi(u)|)/(u^2)*sqrt(u)=$
(quì basta applicare il Marchese due volte..)$=..=1/2|phi''(0)|*0=0 inRR rArr$
$rArrint_0^1|phi(u)| du$,visto che è nullo il limite appena calcolato ed è convergente $int_0^1 1/(u^(1/2)) du $,
converge ad un $m$,e pertanto la $phi$ è assolutamente convergente in $(0,1]$ e,dunque,ivi convergente ad un certo $l' inRR$).
Ne desumiamo che la $f$ è assolutamente integrabile,e dunque integrabile,in $[0,+oo)$,
e conseguentemente,per il preambolo iniziale,anche in $RR$:
spero di non aver fatto qualche e/orrore,ma pure così dovresti esserci..
Saluti dal web.
(*)L'oscillazione,se fossi curioso,la desumi in quel caso per assurdo..
Grazie mille ad entrambi....ho capito perfettamente!! Grazie , grazie, grazie...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo