Esercizio Teorico

[Boemio1]

Siano $f,g:\mathbbR\to\mathbbR$ tali che: $f,g>0; \qquad f'>0 \ e \ g'<0; \qquad f'',g''\geq0$.
Se $\lim_{x\to+\infty}f(x)g(x)=\+infty$ allora anche $\lim_{x\to+\infty}f^{2}(x)g(x)=\+infty$.

A me sembra una cosa abbastanza ovvia in quanto se $\lim_{x\to+\infty}f(x)g(x)=\+infty$ allora la $f$ cresce più velocemente di quanto la $g$ decresca, e quindi anche la $f^2$. Ma non riesco a dimostrarlo formalmente. Avete qualche idea?

[kobeilprofeta]

Se (al limite) $f(x)*g(x)=+\infty$, allora si possono avere i seguenti casi (sempre al limite):
1) $f$ infinita e $g$ finita
2) $f$ finita e $g$ infinita
3) entrambe infinite.
Inoltre $f$ e $g$ sappiamo essere sempre positive.
Quindi, in poche parole, se il limite del prodotto è infinito, allora il limite di almeno una della due funzioni deve essere infinito (e viceversa).
Se è il caso 2) o 3), dato che $g$ è infinita, allora lo è anche il secondo limite. Se è il caso 1), allora con lo stesso ragionamento si deduce che $f^2(x)=f(x)*f(x)$ è infinita