Esercizio teoria elementare dei numeri

[Landau1]

Fatto: il prodotto della somma di quadrati è anch'esso una somma di quadrati. Dovrei dimostrare questo fatto usando mezzi di algebra complessa, quindi forse ci sono delle dimostrazioni che fanno uso di mezzi più elementari, ma tant'è.

Per ogni due coppie di interi \(\displaystyle \{a,b\} \) e \(\displaystyle \{c,d\} \) possiamo trovare due interi \(\displaystyle u,v \) t.c. \[\displaystyle (a^2+b^2)(c^2+d^2)=u^2+v^2 \] E' un esercizio del Bak-Newman con asterisco, quindi non ha neppure un suggerimento purtroppo. La prima cosa sensata che mi è sovvenuta guardando questa espressione è che il tutto è sospettosamente simile a moduli quadri di numeri complessi: \(\displaystyle x=a+ib \), \(\displaystyle y=c+id \), e \(\displaystyle z=u+iv \). Quindi \(\displaystyle |x|^2|y|^2=|xy|^2=|z|^2 \); siccome \(\displaystyle \text{Re } z=ac-bd \) e \(\displaystyle \text{Im } z=ad+bc \) sono ancora numeri interi mi basta scegliere proprio \(\displaystyle u=\text{Re } z \), \(\displaystyle v=\text{Im } z \).

Chiedo la vostra conferma, ma spero di non essere fuori strada. Sorge invece un problema nel secondo punto: lascio l'inglese per non incorrere in errori di traduzione.

Show that, if \(\displaystyle a, b, c, d \) are all nonzero and at least one of the sets \(\displaystyle \{a^2,b^2\} \) and \(\displaystyle \{c^2,d^2\} \) consists of distinct positive integers, then we can find \(\displaystyle u^2,v^2 \) as above with \(\displaystyle u^2, v^2 \) both positive.

Non è ovvio che i quadrati degli interi siano positivi?

[dissonance]

Probabilmente "positive" significa per loro "strettamente positivo".

[anto_zoolander]

Si è corretto in quanto le cose che consideri sono l’anello degli intero di gauss $ZZ$ e il modulo di un numero complesso che è moltiplicativo.