Esercizio teorema di Gauss
Salve avrei un problema con questo esercizio :
Dato il campo vettoriale \(\displaystyle F(x,y,z)=(2y,3x^2,-z) \) calcolare il flusso uscente dalla superficie \(\displaystyle D=\{ (x,y,z)\in R^3 : \sqrt {4x^2+9y^2}\leq z+1, 1\leq z\leq 2 \}\).
\(\displaystyle divF=0+0-1 \)
Ho pensato di porre prima \(\displaystyle z=1 \) e quindi si ha che \(\displaystyle \sqrt {4x^2+9y^2}\leq 2 \), il problema è che non so come parametrizzare in questo caso. Se non sbaglio il dominio è un cono con base ellittica, ho pensato ad utilizzare le coordinate cilindriche, il problema è che in questo caso non so quanto è \(\displaystyle \rho \) né posso stabilire tra che valori è compreso. Quindi avevo pensato di utilizzare le coordinate ellittiche, ed ho parametrizzato nel seguente modo :
\(\displaystyle \begin {cases} x=3cos(t) \\ y=2sen(t) \\z=1 \end {cases}\)
Con \(\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi \). Dopo di che risolvo l'integrale :
\(\displaystyle \int_0^{2\pi } -1 dt \)
Infine rifaccio la stessa cosa imponendo \(\displaystyle z=2 \) e sommo i due integrali svolti. Il mio dubbio rimangono però le coordinate, sono giuste o sbagliate ?
Dato il campo vettoriale \(\displaystyle F(x,y,z)=(2y,3x^2,-z) \) calcolare il flusso uscente dalla superficie \(\displaystyle D=\{ (x,y,z)\in R^3 : \sqrt {4x^2+9y^2}\leq z+1, 1\leq z\leq 2 \}\).
\(\displaystyle divF=0+0-1 \)
Ho pensato di porre prima \(\displaystyle z=1 \) e quindi si ha che \(\displaystyle \sqrt {4x^2+9y^2}\leq 2 \), il problema è che non so come parametrizzare in questo caso. Se non sbaglio il dominio è un cono con base ellittica, ho pensato ad utilizzare le coordinate cilindriche, il problema è che in questo caso non so quanto è \(\displaystyle \rho \) né posso stabilire tra che valori è compreso. Quindi avevo pensato di utilizzare le coordinate ellittiche, ed ho parametrizzato nel seguente modo :
\(\displaystyle \begin {cases} x=3cos(t) \\ y=2sen(t) \\z=1 \end {cases}\)
Con \(\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi \). Dopo di che risolvo l'integrale :
\(\displaystyle \int_0^{2\pi } -1 dt \)
Infine rifaccio la stessa cosa imponendo \(\displaystyle z=2 \) e sommo i due integrali svolti. Il mio dubbio rimangono però le coordinate, sono giuste o sbagliate ?
Risposte
Ti conviene fare un cambio di coordinate in modo da far diventare il cono a base ellittica un cono a base circolare.
L"integrale diventa semplice dopo.
L"integrale diventa semplice dopo.
Ma così come ho fatto io va bene lo stesso ? Comunque sia potresti farmi vedere come si passa dal cono a base ellittica a quello a base circolare, per favore ?
\( \displaystyle D=\{ (x,y,z)\in R^3 : \sqrt {4x^2+9y^2}\leq z+1, 1\leq z\leq 2 \} \)
Prova ad applicare
$x' = 2x$
$y' = 3x$
$z' = z+1$
e vedrai che cono sembra piu' familiare.
Prova ad applicare
$x' = 2x$
$y' = 3x$
$z' = z+1$
e vedrai che cono sembra piu' familiare.
Scusami ma da dove escono quelle ? E come dovrei applicarle ?
La trasformazione che ti ha consigliato Quinzio trasforma il cono con base ellittica nelle coordinate $(x,y,z)$ nel cono con base cilindrica nelle coordinate $(x',y',z')$; puoi riscrivere l'insieme $D$ in questa maniera
$$D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \ \text{t.c.} \ \sqrt{(2x)^2+(3y)^2} \leq z+1, 0 \leq z-1 \leq 1\}$$
Sostituendo in $D$ le nuove coordinate ottieni un nuovo insieme $D'$
$$D'=\{(x',y',z')\in\mathbb{R}^3 \ \text{t.c.} \ \sqrt{(x')^2+(y')^2} \leq z', 0 \leq z' \leq 1\}$$
Che come puoi vedere è un cono a base circolare.
$$D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \ \text{t.c.} \ \sqrt{(2x)^2+(3y)^2} \leq z+1, 0 \leq z-1 \leq 1\}$$
Sostituendo in $D$ le nuove coordinate ottieni un nuovo insieme $D'$
$$D'=\{(x',y',z')\in\mathbb{R}^3 \ \text{t.c.} \ \sqrt{(x')^2+(y')^2} \leq z', 0 \leq z' \leq 1\}$$
Che come puoi vedere è un cono a base circolare.
Ok la prosecuzione, anche se preferisco lasciare la soluzione al 70% e costringere in qualche modo a ragionare sulla soluzione.
C'e' solo un errore:
\[ D'=\{(x',y',z')\in\mathbb{R}^3 \ \text{t.c.} \ \sqrt{(x')^2+(y')^2} \leq z', 0 \leq z' \leq 1\} \]
\[ D'=\{(x',y',z')\in\mathbb{R}^3 \ \text{t.c.} \ \sqrt{(x')^2+(y')^2} \leq z', 2 \leq z' \leq 3\} \]
C'e' solo un errore:
\[ D'=\{(x',y',z')\in\mathbb{R}^3 \ \text{t.c.} \ \sqrt{(x')^2+(y')^2} \leq z', 0 \leq z' \leq 1\} \]
\[ D'=\{(x',y',z')\in\mathbb{R}^3 \ \text{t.c.} \ \sqrt{(x')^2+(y')^2} \leq z', 2 \leq z' \leq 3\} \]
Giusto, $z'$ varia tra $2$ e $3$; grazie per la correzione!
Ho fatto con il vostro metodo ed ho confrontato il risultato con quello che avevo ottenuto tramite il mio metodo, ma escono differenti, ho sbagliato qualche calcolo oppure il mio metodo è proprio errato ?
L'integrale di partenza sarebbe:
\[ \int_{z=1}^{z=2} \int_{x=-(z+1)/2}^{x=(z+1)/2} \int_{y=-1/3\sqrt{1- 4 x^2 }}^{y=1/3\sqrt{1-4 x^2 }} div(F) dy\ dx\ dz \]
Applico le trasformazioni , e tengo i nomi delle variabili sempre $x, y, z$.
\[ -\frac{1}{6} \int_{z=2}^{z=3} \int_{x=-z}^{x=z} \int_{y=-\sqrt{1- x^2 }}^{y = \sqrt{1-x^2 }} dy\ dx\ dz \]
In coordinate polari
\[ -\frac{1}{6} \int_{z=2}^{z=3} \int_{\rho=0}^{\rho=z} \int_{\theta=0}^{\theta = 2\pi } \rho\ d\theta\ d\rho\ dz \]
Senza grossi sforzi direi che il risultato e' $-19/18 \pi$.
Anche usando un po' di geometria, si sa che la formula del volume delle 'piramidi' e' base x altezza / 3.
Quindi abbiamo un cono area $9 \pi$ altezza $3$ da cui togliamo un cono base $4 \pi$ altezza $2$.
Abbiamo $(19)/3 \pi$, che diventa $-19/18 \pi$ moltiplicando per la divergenza e il fattore di scala.
\[ \int_{z=1}^{z=2} \int_{x=-(z+1)/2}^{x=(z+1)/2} \int_{y=-1/3\sqrt{1- 4 x^2 }}^{y=1/3\sqrt{1-4 x^2 }} div(F) dy\ dx\ dz \]
Applico le trasformazioni , e tengo i nomi delle variabili sempre $x, y, z$.
\[ -\frac{1}{6} \int_{z=2}^{z=3} \int_{x=-z}^{x=z} \int_{y=-\sqrt{1- x^2 }}^{y = \sqrt{1-x^2 }} dy\ dx\ dz \]
In coordinate polari
\[ -\frac{1}{6} \int_{z=2}^{z=3} \int_{\rho=0}^{\rho=z} \int_{\theta=0}^{\theta = 2\pi } \rho\ d\theta\ d\rho\ dz \]
Senza grossi sforzi direi che il risultato e' $-19/18 \pi$.
Anche usando un po' di geometria, si sa che la formula del volume delle 'piramidi' e' base x altezza / 3.
Quindi abbiamo un cono area $9 \pi$ altezza $3$ da cui togliamo un cono base $4 \pi$ altezza $2$.
Abbiamo $(19)/3 \pi$, che diventa $-19/18 \pi$ moltiplicando per la divergenza e il fattore di scala.
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