Esercizio Teorema della Divergenza
Calcolare il flusso del campo $ F(x,y,z)=(3xy^2+e^(z^2),xz-y^3,x^2+y+z-3) $ attraverso la superficie $ sum:{(x,y,z)in R^3: z=1-sqrt(x^2+y^2),z>=0} $ rispetto al versore normale n avente prodotto scalare non negativo con (0; 0; 1).
La superficie è un cono con vertice (0,0,1) e base centrata nell'origine di raggio 1.
E' giusto utilizzare il Teorema della Divergenza integrando sul volume del cono? La divergenza è: $ nabla*F=3y^2-3y^2+1=1 $
Perchè ho provato e non mi è venuto, mentre invece parametrizzando la superficie del cono e il campo vettoriale, calcolando il vettore normale, ho svolto l'integrale di flusso e, dopo svariati calcoli, il risultato mi è venuto corretto.
La superficie è un cono con vertice (0,0,1) e base centrata nell'origine di raggio 1.
E' giusto utilizzare il Teorema della Divergenza integrando sul volume del cono? La divergenza è: $ nabla*F=3y^2-3y^2+1=1 $
Perchè ho provato e non mi è venuto, mentre invece parametrizzando la superficie del cono e il campo vettoriale, calcolando il vettore normale, ho svolto l'integrale di flusso e, dopo svariati calcoli, il risultato mi è venuto corretto.
Risposte
Scusa ma come hai scritto il campo la divergenza non è uguale a $1$
Ma è questa;
$ nabla*F=3y^2-2y+1 $
Ma è questa;
$ nabla*F=3y^2-2y+1 $
La divergenza del campo vettoriale non è pari a $1$.
$$ \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{F} = 3y^2 -2y + 1$$
$$ \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{F} = 3y^2 -2y + 1$$
Avete ragione, ho scritto l'esercizio di fretta, il campo vettoriale è: $ F(x,y,z)=(3xy^2+e^(z^2),xz-y^3,x^2+y+z-3) $
Da qui la divergenza pari a 1
Da qui la divergenza pari a 1
Quale dovrebbe essere il risultato dell'esercizio?
Il risultato è $ -(29pi)/12 $ , che ho verificato calcolando normalmente l'integrale di flusso, ma che non riesco a farlo con la divergenza...
Credo che tu non abbia considerato il fatto che $ \Sigma$ non è una superficie chiusa.
Per applicare il teorema della divergenza, devi considerare anche la superficie
$$ \Omega = \left \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ / \ x^2 + y^2 =1 \ , \ z=0 \right \} $$
ovvero il cerchio di base. Infatti
$$ \Phi_{\Sigma} \left( \overrightarrow{F} \right) + \Phi_{\Omega} \left( \overrightarrow{F} \right) = \underset{\tau}{\int} \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{F} \mathrm d \tau $$
dove $\tau$ è il volume del cono.
Per applicare il teorema della divergenza, devi considerare anche la superficie
$$ \Omega = \left \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ / \ x^2 + y^2 =1 \ , \ z=0 \right \} $$
ovvero il cerchio di base. Infatti
$$ \Phi_{\Sigma} \left( \overrightarrow{F} \right) + \Phi_{\Omega} \left( \overrightarrow{F} \right) = \underset{\tau}{\int} \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{F} \mathrm d \tau $$
dove $\tau$ è il volume del cono.
Sì sì che fosse compresa anche la circonferenza di raggio 1 su z=0 lo avevo capito ed avevo calcolato l'integrale che hai scritto, su questo insieme, non so però se è corretto:
$ A={(x,y,z)in R^3: x^2+y^2<=z<=1-sqrt(x^2+y^2)} $
In coordinate cilindriche $ A'={(rho,vartheta,t)in R^3: 0<=vartheta<=2pi,1<=rho<=0,rho^2<=t<=1-rho} $
$ int_(0)^(2pi)int_(0)^(1)int_(rho^2)^(1-rho)rhodtdrhodvartheta $
Temo di aver sicuramente sbagliato qualcosa.
$ A={(x,y,z)in R^3: x^2+y^2<=z<=1-sqrt(x^2+y^2)} $
In coordinate cilindriche $ A'={(rho,vartheta,t)in R^3: 0<=vartheta<=2pi,1<=rho<=0,rho^2<=t<=1-rho} $
$ int_(0)^(2pi)int_(0)^(1)int_(rho^2)^(1-rho)rhodtdrhodvartheta $
Temo di aver sicuramente sbagliato qualcosa.
Visto che $ 0 < z < 1-sqrt { x^2 + y^2} $, credo sia più corretto scrivere che $ 0 \leq t \leq 1- \rho $.
Un modo più rapido è quello di osservare che il cono ha $r=1$ e $h=1$, quindi (visto che $ \vec {F} $ ha divergenza pari a $1$)
$$ \underset{\tau}{\int} \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{F} \mathrm d \tau = \left| \tau \right| = \frac {\pi r^2 h}{3} = \frac { \pi } { 3 } $$
Un modo più rapido è quello di osservare che il cono ha $r=1$ e $h=1$, quindi (visto che $ \vec {F} $ ha divergenza pari a $1$)
$$ \underset{\tau}{\int} \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{F} \mathrm d \tau = \left| \tau \right| = \frac {\pi r^2 h}{3} = \frac { \pi } { 3 } $$
Avevo pensato banalmente anche al volume del cono in quel modo, è per questo che non capisco perché il risultato corrisponde se utilizzo l'integrale di flusso e non se applico il teorema della divergenza...
Se vedi @Ahornach già ha risolto il tuo dubbio tramite questa relazione
\[ \Phi_{\Sigma} \left( \overrightarrow{F} \right) + \Phi_{\Omega} \left( \overrightarrow{F} \right) = \underset{\tau}{\int} \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{F} \mathrm d \tau \]
Da qui sappiamo che al valore del flusso su tutto il volume, cioè $pi/3$, dobbiamo sottrarre il valore del flusso sulla circonferenza di base del cono, la quale non fa parte della superficie iniziale...
\[ \Phi_{\Sigma} \left( \overrightarrow{F} \right) + \Phi_{\Omega} \left( \overrightarrow{F} \right) = \underset{\tau}{\int} \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{F} \mathrm d \tau \]
Da qui sappiamo che al valore del flusso su tutto il volume, cioè $pi/3$, dobbiamo sottrarre il valore del flusso sulla circonferenza di base del cono, la quale non fa parte della superficie iniziale...
Ragionissima, non avevo realizzato di doverci sottratte il flusso sulla circonferenza di base, davvero grazie mille ad entrambi!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo