Esercizio Teorema del Dini
"Dimostrare che l'equazione $ y^5+y-xe^x=0 $ definisce una ed una sola funzione $ y=f(x) $ su tutto l'asse reale. Verificare inoltre che:
a) $ xf(x)>0 $ , per ogni $ x!=0 $ , $ f(0)=0 $ ;
b) per $ x->-oo $ , $ f(x)->0^- $ ;
c) per $ x->+oo $ , $ f(x)->+oo $ ;
d) $ x=-1 $ è un punto di minimo per $ f(x) $ "
Se non sbaglio le ipotesi che se verificate mi permettono di applicare Dini sono che, data una funzione a valori reali, nell'intorno del punto che si è scelto, la funzione deve essere uguale a zero e la derivata parziale in y diversa da zero. Inoltre la funzione e la derivata parziale in y devono essere continue.
Io sto considerando come $ f(x,y) $ la $ y^5+y-xe^x $, che uguagliata a zero mi da l'equazione data dal testo, è corretto?
I punti che il testo mi dice sono quelli dell'asse reale...intende quindi i punti del tipo $ (x,0) $ ? Se così fosse però non si avrebbe che $ f(x,0)!=0 $ ? (uscirebbe $ -xe^x $ )
Molto apprezzati eventuali chiarimenti di idee
a) $ xf(x)>0 $ , per ogni $ x!=0 $ , $ f(0)=0 $ ;
b) per $ x->-oo $ , $ f(x)->0^- $ ;
c) per $ x->+oo $ , $ f(x)->+oo $ ;
d) $ x=-1 $ è un punto di minimo per $ f(x) $ "
Se non sbaglio le ipotesi che se verificate mi permettono di applicare Dini sono che, data una funzione a valori reali, nell'intorno del punto che si è scelto, la funzione deve essere uguale a zero e la derivata parziale in y diversa da zero. Inoltre la funzione e la derivata parziale in y devono essere continue.
Io sto considerando come $ f(x,y) $ la $ y^5+y-xe^x $, che uguagliata a zero mi da l'equazione data dal testo, è corretto?
I punti che il testo mi dice sono quelli dell'asse reale...intende quindi i punti del tipo $ (x,0) $ ? Se così fosse però non si avrebbe che $ f(x,0)!=0 $ ? (uscirebbe $ -xe^x $ )
Molto apprezzati eventuali chiarimenti di idee
Risposte
Hai un po' le idee confuse in effetti: dire che l'equazione $g(x,y)=0$ definisce una ed una sola funzione $y=f(x)$ definita su tutto l'asse reale vuol dire che esiste una funzione $f : \mathbb R \to \mathbb R$ tale che $g(x,f(x))=0$ per ogni $x\in\mathbb R$. Il teorema della funzione implicita (Dini) ti garantisce quando puoi, localmente attorno ad un punto $(x_0,y_0)$ tale che $g(x_0,y_0)=0$, trovare $f$ a partire da $g$ . Nel tuo caso si ha $g(x,y)=y^5+y-xe^x$ e, per esempio, $(x_0,y_0)=(0,0)$.
"Luca.Lussardi":
Hai un po' le idee confuse in effetti: dire che l'equazione $g(x,y)=0$ definisce una ed una sola funzione $y=f(x)$ definita su tutto l'asse reale vuol dire che esiste una funzione $f : \mathbb R \to \mathbb R$ tale che $g(x,f(x))=0$ per ogni $x\in\mathbb R$. Il teorema della funzione implicita (Dini) ti garantisce quando puoi, localmente attorno ad un punto $(x_0,y_0)$ tale che $g(x_0,y_0)=0$, trovare $f$ a partire da $g$ . Nel tuo caso si ha $g(x,y)=y^5+y-xe^x$ e, per esempio, $(x_0,y_0)=(0,0)$.
Ok, perciò hai scelto un punto qualunque $ (x_0,y_0) = (0,0) $ che mi facesse "funzionare" Dini, e con ciò si dimostra che la funzione $ f(x) $ esiste (anche se non so quale essa è).
Ma come faccio ad estendere questo risultato "per ogni x"? Così facendo non l'hai dimostrato solo per un intorno del punto (e quindi della x) scelto?
e' vero e' piu' interessante di quanto sembra... mi viene in mente un ragionamento di ode, hai la soluzione locale con condizione $y(0)=0$ da Dini, se derivi attorno a $0$ hai $f'(x)(5f^4(x)+1)=e^x(x+1)$ che puoi studiare qualitativamente e vedere se la soluzione e' globale e quindi tutte le proprietà che ti chiedono, sono infatti richieste tipiche da studio qualitativo di un problema di Cauchy...
Credo di aver capito cosa intendi anche se non ho molta familiarità con le eq. differenziali...quindi perdonami le prossime eresie che scriverò
1) Come verifico che la soluzione è globale a partire dallo studio di quella funzione e dalla condizione di partenza?
2) Derivando si arriva a quell'equazione che hai scritto, per studiare le richieste del problema (dove mi serve f(x)) devo riscriverla esplicitando f(x)?
1) Come verifico che la soluzione è globale a partire dallo studio di quella funzione e dalla condizione di partenza?
2) Derivando si arriva a quell'equazione che hai scritto, per studiare le richieste del problema (dove mi serve f(x)) devo riscriverla esplicitando f(x)?
si tratta di usare la teoria delle equazioni ordinarie, tu hai per esempio che l'equazione $y'=\frac{e^x(x+1)}{5y^4+1}$ ha una ed una sola soluzione locale che parte da $y(0)=0$. Ora se studi il segno di $\frac{e^x(x+1)}{5y^4+1}$ vedi che la soluzione e' strettamente crescente nella zona $x>-1$ e strettamente decrescente nella zona $x<-1$, sempre che ci entri. La globalita' la fai subito, perche' la soluzione o esplode in tempo finito oppure e' prolungabile a tutto $\mathbb R$, ma non puo' esplodere in tempo finito $T$, altrimenti passando al limite in $\frac{e^x(x+1)}{5y^4+1}$ per $x\to T$ da destra o sinistra, dipende da dove sei, avresti $y'\to 0$ e questo e' impossibile per esempio per il teorema di Lagrange. Con ragionamenti simili tratti tutte le altre richieste.
Penso si possa ragionare anche senza usare le OdE.
Poiché \(g_y(x,y) = 5y^4+1 > 0\), si ha che per ogni \(x\in\mathbb{R}\) fissato la funzione \(y\mapsto g(x,y)\) è strettamente monotona crescente; inoltre
\[
\lim_{x\to -\infty} g(x,y) = -\infty,\qquad \lim_{x\to +\infty} g(x,y) = +\infty.
\]
Di conseguenza, per ogni \(x\) esiste un unico \(y = f(x)\) tale che \(g(x, f(x)) = 0\); questo dimostra l'esistenza (e unicità) globale della funzione implicita.
Il teorema del Dini garantisce che tale funzione implicita sia di classe \(C^1\) (in realtà di classe \(C^{\infty}\)).
Passiamo alle altre proprietà.
Poiché \(g(x, 0) = -x e^x\) è positiva per \(x<0\), negativa per \(x>0\) e nulla per \(x = 0\), segue subito che
\[
f(x) > 0\quad\forall x>0,\qquad f(x) < 0\quad \forall x<0,\qquad f(0) = 0.
\]
(Basta ragionare sulle restrizioni "verticali" della funzione.)
Inoltre \(g(x, xe^x) = x^5 e^{5x} < 0\) per ogni \(x < 0\); questo (insieme al fatto che \(g(x,0) > 0\) per ogni \(x<0\)) implica che
\[
x e^x < f(x) < 0\qquad \forall x<0,
\]
dunque, in particolare,
\[
\lim_{x\to -\infty} f(x) = 0.
\]
Per \(x>0\), invece, abbiamo che \(g(x,x) = x^5+x-xe^x\) è una funzione definitivamente negativa (diciamo per ogni \(x\geq K> 0\)); di conseguenza
\[
f(x) > x \qquad \forall x\geq K.
\]
Questo mostra che \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty\).
Per quanto riguarda l'ultima domanda, è sufficiente osservare che
\[
f'(x) = -\frac{g_x (x,f(x))}{g_y(x,f(x))} = \frac{(1+x) e^x}{1+5f(x)^4}
\]
e ragionare sul segno di tale derivata.
Poiché \(g_y(x,y) = 5y^4+1 > 0\), si ha che per ogni \(x\in\mathbb{R}\) fissato la funzione \(y\mapsto g(x,y)\) è strettamente monotona crescente; inoltre
\[
\lim_{x\to -\infty} g(x,y) = -\infty,\qquad \lim_{x\to +\infty} g(x,y) = +\infty.
\]
Di conseguenza, per ogni \(x\) esiste un unico \(y = f(x)\) tale che \(g(x, f(x)) = 0\); questo dimostra l'esistenza (e unicità) globale della funzione implicita.
Il teorema del Dini garantisce che tale funzione implicita sia di classe \(C^1\) (in realtà di classe \(C^{\infty}\)).
Passiamo alle altre proprietà.
Poiché \(g(x, 0) = -x e^x\) è positiva per \(x<0\), negativa per \(x>0\) e nulla per \(x = 0\), segue subito che
\[
f(x) > 0\quad\forall x>0,\qquad f(x) < 0\quad \forall x<0,\qquad f(0) = 0.
\]
(Basta ragionare sulle restrizioni "verticali" della funzione.)
Inoltre \(g(x, xe^x) = x^5 e^{5x} < 0\) per ogni \(x < 0\); questo (insieme al fatto che \(g(x,0) > 0\) per ogni \(x<0\)) implica che
\[
x e^x < f(x) < 0\qquad \forall x<0,
\]
dunque, in particolare,
\[
\lim_{x\to -\infty} f(x) = 0.
\]
Per \(x>0\), invece, abbiamo che \(g(x,x) = x^5+x-xe^x\) è una funzione definitivamente negativa (diciamo per ogni \(x\geq K> 0\)); di conseguenza
\[
f(x) > x \qquad \forall x\geq K.
\]
Questo mostra che \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty\).
Per quanto riguarda l'ultima domanda, è sufficiente osservare che
\[
f'(x) = -\frac{g_x (x,f(x))}{g_y(x,f(x))} = \frac{(1+x) e^x}{1+5f(x)^4}
\]
e ragionare sul segno di tale derivata.
vero, si fa anche piu' "a mano", carino...
Bello questo esercizio perché fa capire la dimostrazione del teorema del Dini e non lo applica solamente. (Mi riferisco al fatto che l'argomento solito di dimostrazione mi pare essere proprio quello che ha usato Rigel, però in piccolo. Uno si mette in un intornino, e siccome la derivata rispetto a \(y\) non si annulla, può usare il teorema degli zeri per risolvere l'equazione in modo unico. )
In realtà, fino a non molti anni fa, gli esercizi di questo tipo erano un classico.
In molti testi di Analisi 2 veniva infatti riportata la versione "in grande" del teorema del Dini in \(\mathbb{R}^2\), che di fatto è quella usata nell'esercizio.
Come correttamente dice dissonance, questo argomento "in grande" è quello che viene riportato "in piccolo" nella dimostrazione del teorema del Dini usuale in \(\mathbb{R}^2\).
In molti testi di Analisi 2 veniva infatti riportata la versione "in grande" del teorema del Dini in \(\mathbb{R}^2\), che di fatto è quella usata nell'esercizio.
Come correttamente dice dissonance, questo argomento "in grande" è quello che viene riportato "in piccolo" nella dimostrazione del teorema del Dini usuale in \(\mathbb{R}^2\).
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