Esercizio Teorema dei Residui

[folgore1]

Buongiorno a tutti!Qualcuno potrebbe confermarmi la correttezza di questo esercizio?Vi ringrazio!
Calcolare il seguente integrale,facendo uso del teorema dei residui:
$int_(-oo)^(+oo) (x+sinx)/(x(x^2+4jx-4)) dx$
Gli zeri del denominatore sono reali e complessi:
$x(x^2+4jx-4)=0$ $->$ $x=0$; $x=-2j$;
dove:
$x=0$ è uno zero semplice;
$x=-2j$ è uno zero doppio.
Visto che lo zero reale del denominatore è uno zero semplice ed inoltre il grado del denominatore è $>=$ del grado del numeratore $+1$ allora l'integrale converge assolutamente.
Considero una funzione ausiliaria:
$f(z)=(P(z))/(Q(z))$
e prendo soltanto gli zeri di $Q(z)$ che hanno la parte immaginaria positiva.Nel caso in esame nessuno degli zeri di $Q(z)$ ha $Im > 0$ quindi applicando il Teorema dei Residui si ottiene che:
$v.p. int_(-oo)^(+oo) (x+sinx)/(x(x^2+4jx-4)) dx=0$

[gugo82]

"folgore":$int_(-oo)^(+oo) (x+sinx)/(x(x^2+4jx-4)) dx$

[size=59]Questo c'ha la faccia di un esercizio di Ferone/Trombetti, mmmm...[/size]

Non ha molto senso fare i conti come li hai fatti tu.
Quando hai a che fare con integrali estesi all'asse reale devi prima determinare le funzioni ausiliarie utili al calcolo dell'integrale e poi, se è il caso, classificarne le singolarità e determinarne i residui.

In particolare, in questo caso si deve spezzare l'integrale in tre pezzi ed i calcoli, seppure semplici, sono un po' laboriosi; posto in spoiler la soluzione completa.

1. Visto che:

[tex]$x^2+4\jmath x-4=(x+2\jmath)^2$[/tex] e [tex]$\sin x =\frac{1}{2\jmath} (e^{\jmath x}-e^{-\jmath x})$[/tex]

l'integrando si riscrive:

[tex]$\frac{x+\sin x}{x(x^2+4\jmath x-4)}=\frac{1}{(x+2\jmath)^2} +\frac{\sin x}{x(x+2\jmath)^2}$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{(x+2\jmath)^2} +\frac{e^{\jmath x}}{2\jmath x(x+2\jmath)^2} - \frac{e^{-\jmath x}}{2\jmath x(x+2\jmath)^2}$[/tex],

quindi:

[tex]$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x+\sin x}{x(x^2+4\jmath x-4)}\ \text{d} x= \underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(x+2\jmath)^2}\ \text{d} x}_{A}+\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{\jmath x}}{2\jmath x(x+2\jmath)^2}\ \text{d} x}_{B} -\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-\jmath x}}{2\jmath x(x+2\jmath)^2}\ \text{d} x}_{C}$[/tex]

e perciò per calcolare l'integrale assegnato occorre calcolare ognuno degli integrali [tex]$A,B,C$[/tex] a secondo membro della precedente.

2. L'integrale [tex]$A$[/tex] è l'integrale di una funzione razionale (a valori complessi) sommabile e si può calcolare integrando la funzione ausiliaria [tex]$R(z):=\tfrac{1}{(z+2\jmath)^2}$[/tex] su un circuito semicircolare ed applicando il lemma dell'arco grande di Jordan: procedendo in questa maniera si dimostra che [tex]$A=0$[/tex].
Tuttavia si può, più intuitivamente, ragionare come segue: facendo la sostituzione di variabile [tex]$z=x+2\jmath$[/tex] si ha:

[tex]$A=\int_{+s} \frac{1}{z^2}\ \text{d} z$[/tex]

ove [tex]$+s$[/tex] è la retta d'equazione [tex]$\text{Im} z=2$[/tex] orientata nel verso delle parti reali crescenti; ma allora risulta:

[tex]$A=\lim_{t \to +\infty} \int_{-t +2\jmath}^{t +2\jmath} \frac{1}{z^2}\ \text{d} z$[/tex]
[tex]$= \lim_{t \to +\infty} \left[ -\frac{1}{z} \right]_{-t +2\jmath}^{t +2\jmath}$[/tex]
[tex]$=\lim_{t \to +\infty} -\frac{1}{t +2\jmath} +\frac{1}{2\jmath -t} =0$[/tex].

3. Gl'integrali [tex]$B$[/tex] e [tex]$C$[/tex] si calcolano anch'essi integrando su circuiti semicircolari ed applicando i lemmi di Jordan; ovviamente, si devono scegliere tali circuiti in maniera appropriata.
Cominciamo da [tex]$B$[/tex]. La funzione ausiliaria da considerare è [tex]$f(z):=\tfrac{e^{\jmath z}}{2\jmath z(z+2\jmath)^2}$[/tex] ed essa va integrata su un circuito formato dall'unione degli intervalli [tex]$[-R,-r]\cup [r,R]$[/tex] sull'asse reale e da due semicirconferenze [tex]$+\Gamma (R),\ -\Gamma (r)$[/tex] (la prima che tenderà ad allargarsi all'infinito, la seconda che tenderà a restringersi intorno a [tex]$0$[/tex]).
Come detto sopra, però, si deve scegliere attentamente il semipiano in cui posizionare [tex]$\Gamma (R)$[/tex] e [tex]$\Gamma (r)$[/tex]: visto che [tex]$|e^{\jmath z}|=e^{-\text{Im} z}$[/tex] e che vogliamo far allargare [tex]$\Gamma (R)$[/tex] all'infinito (e perciò [tex]$\text{Im} z$[/tex] dovrà tendere a [tex]$\pm \infty$[/tex]), l'unico modo per far rimanere [tex]$z f(z)$[/tex] limitata su [tex]$\Gamma (R)$[/tex] (che è condizione necessaria per poter applicare il lemma dell'arco grande di Jordan) è scegliere un arco posizionato nel semipiano [tex]$\text{Im} z\geq 0$[/tex]; la scelta del posizionamento dell'arco [tex]$\Gamma (r)$[/tex], invece, non è problematica perchè la funzione [tex]$z f(z)$[/tex] rimane limitata sull'arco sia se lo prendiamo in [tex]$\text{Im} z\leq 0$[/tex] sia se lo prendiamo in [tex]$\text{Im} z\geq 0$[/tex]: allora, per solidarietà, prendiamo anche [tex]$\Gamma (r)$[/tex] nel semipiano superiore.
Fatte tali scelte e visto che la funzione ausiliaria non ha punti singolari nel dominio [tex]$\Omega$[/tex] delimitato dal circuito, si ha:

[tex]$\int_{+\partial \Omega} f(z)\ \text{d} z=0$[/tex]

quindi per ogni [tex]$r,R>0$[/tex] risulta:

[tex]$\left\{\int_{r}^R +\int_{-R}^{-r} \right\} f(z)\ \text{d} z + \left\{ \int_{+\Gamma (r)} +\int_{-\Gamma (r)}\right\} f(z)\ \text{d} z=0$[/tex]

e ciò importa:

[tex]$\text{V.P.} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ \text{d} x =\lim_{R\to +\infty ,r\to 0^+} \left\{\int_{r}^R +\int_{-R}^{-r} \right\} f(z)\ \text{d} z = -\lim_{R\to +\infty} \int_{+\Gamma (R)} f(z)\ \text{d} z +\lim_{r\to 0^+} \int_{+\Gamma (r)} f(z)\ \text{d} z$[/tex];

per i lemmi di Jordan si ha:

[tex]$\lim_{R\to +\infty} \int_{+\Gamma (R)} f(z)\ \text{d} z =\pi \jmath \lim_{|z|\to +\infty} zf(z) = \pi \jmath \lim_{|z|\to +\infty} \frac{e^{\jmath z}}{2\jmath (z+2\jmath)^2} =0$[/tex]

[tex]$\lim_{r\to 0^+} \int_{+\Gamma (r)} f(z)\ \text{d} z =\pi \jmath \lim_{|z|\to 0^+} zf(z) = \pi \jmath \lim_{|z|\to +\infty} \frac{e^{\jmath z}}{2\jmath (z+2\jmath)^2} = -\frac{\pi}{8}$[/tex],

sicché [tex]$B=-\tfrac{\pi}{8}$[/tex].

4. Analogamente si ragiona per [tex]$C$[/tex], però in tal caso gli archi [tex]$\Gamma (R)$[/tex] e [tex]$\Gamma (r)$[/tex] vanno presi nel semipiano [tex]$\text{Im} z\leq 0$[/tex]: in tal caso, detto [tex]$\Omega$[/tex] il dominio delimitato dal circuito percorso in senso orario (per mantenere buoni i segni sui tratti orizzontali), il punto singolare [tex]$-2\jmath$[/tex] di [tex]$g(z)$[/tex] è in [tex]$\Omega$[/tex] per [tex]$r$[/tex] sufficientemente piccolo ed [tex]$R$[/tex] sufficientemente grande, perciò risulta:

[tex]$\int_{-\partial \Omega} g(z)\ \text{d} z =-2\pi \jmath\ \text{Res} (g(z);-2\jmath)$[/tex],

ove ovviamente [tex]$g(z)$[/tex] è la funzione ausiliaria [tex]$\tfrac{e^{-\jmath z}}{2\jmath z(z+2\jmath)^2}$[/tex]; dato che il punto [tex]$-2\jmath$[/tex] è un polo d'ordine [tex]$2$[/tex] per [tex]$g(z)$[/tex] si ha:

[tex]$\text{Res} (g(z);-2\jmath) =\lim_{z\to -2\jmath} \frac{\text{d}}{\text{d} z} \left[ (z+2\jmath)^2\ \frac{e^{-\jmath z}}{2\jmath z(z+2\jmath)^2}\right]$[/tex]
[tex]$=\lim_{z\to -2\jmath} \frac{-\jmath z- 1}{2\jmath z^2}\ e^{-\jmath z}$[/tex]
[tex]$=\frac{3}{8\jmath e^2}$[/tex]

quindi:

[tex]$\left\{\int_{r}^R +\int_{-R}^{-r} \right\} g(z)\ \text{d} z + \left\{ \int_{-\Gamma (R)} +\int_{+\Gamma (r)}\right\} g(z)\ \text{d} z=-\frac{3\pi}{4e^2}$[/tex]

e conseguentemente:

[tex]$\text{V.P.} \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)\ \text{d} x =\lim_{R\to +\infty ,r\to 0^+} \left\{\int_{r}^R +\int_{-R}^{-r} \right\} g(z)\ \text{d} z =-\frac{3\pi}{4e^2} +\lim_{R\to +\infty} \int_{+\Gamma (R)} g(z)\ \text{d} z -\lim_{r\to 0^+} \int_{+\Gamma (r)} g(z)\ \text{d} z$[/tex];

applicando i lemmi di Jordan si ha:

[tex]$\lim_{R\to +\infty} \int_{+\Gamma (R)} g(z)\ \text{d} z =\pi \jmath \lim_{|z|\to +\infty} z g(z) = \pi \jmath \lim_{|z|\to +\infty, } \frac{e^{-\jmath z}}{2\jmath (z+2\jmath)^2} =0$[/tex]

[tex]$\lim_{r\to 0^+} \int_{+\Gamma (r)} g(z)\ \text{d} z =\pi \jmath \lim_{|z|\to 0^+} z g(z) = \pi \jmath \lim_{|z|\to +\infty} \frac{e^{-\jmath z}}{2\jmath (z+2\jmath)^2} = -\frac{\pi}{8}$[/tex],

sicché [tex]$C=-\tfrac{3\pi}{4 e^2} +\tfrac{\pi}{8}$[/tex].

Mettendo insieme quanto trovato otteniamo:

[tex]$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x+\sin x}{x(x^2+4\jmath x-4)}\ \text{d} x=A+B-C=0-\frac{\pi}{8}-\left( -\frac{3\pi}{4 e^2} +\frac{\pi}{8} \right)= \frac{\pi}{4e^2} (3-e^2)$[/tex].

[folgore1]

Innanzitutto ti ringrazio per la soluzione che mi hai scritto!
L'esercizio è tratto da una prova d'esame somministrata dal Prof. Ferone.Ad ogni modo avendo studiato dalle dispense del Prof. Greco ho cercato di risolverlo come fà lui calcolando i residui e quindi senza utilizzare il Lemma di Jordan che a parte nella teoria non ho mai visto usare negli esercizi .
Visto che conosci il prof. per cercare di risolvere correttamente questa tipologia di esercizi da dove posso studiare o esercitarmi?Sul Codegone (Edizione Zanichelli) questa parte non è molto approfondita e utilizza il calcolo diretto dei residui!

[gugo82]

Il consiglio è quello di fare gli esercizi proposti agli esami, seguire quello che è stato spiegato a lezione (anche dall'esercitatore, se è venuto qualcuno) e, quando si hanno dei dubbi, andare a parlare col prof. che è molto disponibile.

Un libretto utile potrebbe essere quello della collana Schaum, ossia Complex Variables di M. Spiegel.
Però di libri/eserciziari di Analisi Complessa carini per ingegneri ce ne sono davvero pochi: un testo che potresti consultare è quello di Kreiszyg, Advanced Engineering Mathematics (la teoria delle funzioni olomorfe è nei capp. 13-16; il calcolo dei residui è nel cap. 16... Però in questo libro c'è davvero di tutto!) ed anche Krzyz, Problems in Complex Variable Theory (il calcolo degli integrali è nel cap. 3).

[folgore1]

"gugo82":Il consiglio è quello di fare gli esercizi proposti agli esami, seguire quello che è stato spiegato a lezione (anche dall'esercitatore, se è venuto qualcuno) e, quando si hanno dei dubbi, andare a parlare col prof. che è molto disponibile.

Un libretto utile potrebbe essere quello della collana Schaum, ossia Complex Variables di M. Spiegel.
Però di libri/eserciziari di Analisi Complessa carini per ingegneri ce ne sono davvero pochi: un testo che potresti consultare è quello di Kreiszyg, Advanced Engineering Mathematics (la teoria delle funzioni olomorfe è nei capp. 13-16; il calcolo dei residui è nel cap. 16... Però in questo libro c'è davvero di tutto!) ed anche Krzyz, Problems in Complex Variable Theory (il calcolo degli integrali è nel cap. 3).

Ti ringrazio per i consigli anche se purtroppo non ho seguito il corso in quanto sia lui (subentrato quest'anno) che la mia Prof.ssa mi avevano assicurato che l'esame a noi del vecchio ordinamento l'avrebbe tenuto ancora lei.Infatti mi trovo veramente spiazzato visto che questa cosa l'hanno scritta sulle loro bacheche nemmeno una settimana fà.
Ad ogni modo per qualsiasi dubbio andrò da lui come mi hai suggerito oppure (se è possibile) riporterò alcuni dei dubbi qui sul forum.Grazie ancora per la tua disponibilità!

[dissonance]

Krzyz

Scusate, ragazzi, ma questo come lo pronunciate? Krzyz. Difficilotto, eh? Non sembra proprio un nome terrestre!

[gugo82]

[OT, a domanda rispondo...]

@dissonance: Infatti la pronuncia (polacca) è assurda.

[/OT]