Esercizio svolto topologia (dubbio)
Ciao, ho svolto un po' di tempo fa questo esercizio, ma non mi ricordo il motivo di alcune cose e ho dei dubbi...
Ho $(x^2 + 2y^2) * ( x^2 + 4y^2 - 4) >= 0$
$(x^2 + 2y^2)>= 0$ per ogni $(x, y) in RR^2$
$(x^2 + 4y^2 - 4) >= 0$
Successivamente ho rappresentato l'ellisse su un piano cartesiano e ero giunto a queste conclusioni:
L'insieme non è aperto perchè l'origine è un punto isolato (qualcuno mi può spiegare meglio questa cosa?)
l'insieme non è connesso (questo è vero perchè nell'insieme c'è anche l'origine oltre alla parte esterna dell'ellisse?)
Ho $(x^2 + 2y^2) * ( x^2 + 4y^2 - 4) >= 0$
$(x^2 + 2y^2)>= 0$ per ogni $(x, y) in RR^2$
$(x^2 + 4y^2 - 4) >= 0$
Successivamente ho rappresentato l'ellisse su un piano cartesiano e ero giunto a queste conclusioni:
L'insieme non è aperto perchè l'origine è un punto isolato (qualcuno mi può spiegare meglio questa cosa?)
l'insieme non è connesso (questo è vero perchè nell'insieme c'è anche l'origine oltre alla parte esterna dell'ellisse?)
Risposte
Un insieme $A$ è aperto se ogni suo punto $x$ è interno, ossia esiste una palla $B(x,r)$ contenuta in $A$. L'origine (o anche qualsiasi punto dell'ellisse) non è interno al tuo insieme. In particolare, come avevi concluso tu, l'origine è un punto isolato. Come si deduce facilmente dalla definizione, un aperto non può avere punti isolati; quindi il tuo insieme non è aperto.
Ci sono svariate definizioni equivalenti di spazio connesso, non so a quale tu faccia riferimento. Una tra queste: $A$ è connesso se non è l'unione di due insiemi chiusi, non vuoti e disgiunti. Il tuo $A$ non è connesso perché è esprimibile come
\[\{x^2+4y^2-4\ge 0\}\cup \{(0,0)\}\]
(unione di due chiusi non vuoti e disgiunti).
Ancora più immediato sarebbe concludere che $A$ non è connesso se si tiene conto che in $RR^n$ la connessione equivale alla connessione per archi: $A$ è connesso per archi se puoi congiungere due punti qualsiasi di $A$ con una curva (continua) interamente contenuta in $A$. Quindi avresti potuto osservare che non esiste una curva contenuta nel tuo $A$ che congiunga l'origine e un qualsiasi altro punto di $A$.
E' tutto più difficile a dirsi che a farsi
Ciao ciao!
Ci sono svariate definizioni equivalenti di spazio connesso, non so a quale tu faccia riferimento. Una tra queste: $A$ è connesso se non è l'unione di due insiemi chiusi, non vuoti e disgiunti. Il tuo $A$ non è connesso perché è esprimibile come
\[\{x^2+4y^2-4\ge 0\}\cup \{(0,0)\}\]
(unione di due chiusi non vuoti e disgiunti).
Ancora più immediato sarebbe concludere che $A$ non è connesso se si tiene conto che in $RR^n$ la connessione equivale alla connessione per archi: $A$ è connesso per archi se puoi congiungere due punti qualsiasi di $A$ con una curva (continua) interamente contenuta in $A$. Quindi avresti potuto osservare che non esiste una curva contenuta nel tuo $A$ che congiunga l'origine e un qualsiasi altro punto di $A$.
E' tutto più difficile a dirsi che a farsi
Ciao ciao!
Grazie mille, sei stato chiarissimo! 
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