Esercizio sviluppo in serie di Laurent

[claudio_p88]

devo scrivere lo sviluppo in serie di Laurent di \(\displaystyle f(z)= \frac{1}{z^3}Log(1+iz^2) \) precisando la regione in cui vale e specificando parte regolare e parte singolare, lo sviluppo mi è venuto fuori \(\displaystyle f(z) = \frac{1}{z^3}\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{(iz^2)^n}{n}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{i^{n+1}z^{2n-1}}{n+1} \), come faccio a stabilire la regione in cui vale? Mi basta solamente impostare \(\displaystyle 1+iz^2\ne0 \), oppure devo anche considerare il caso \(\displaystyle z\ne 0 \), inoltre qual'è la parte regolare e quale quella singolare?

[gugo82]

"claudio_p88":devo scrivere lo sviluppo in serie di Laurent di \(\displaystyle f(z)= \frac{1}{z^3}Log(1+iz^2) \) precisando la regione in cui vale e specificando parte regolare e parte singolare, lo sviluppo mi è venuto fuori \(\displaystyle f(z) = \frac{1}{z^3}\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{(iz^2)^n}{n}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{i^{n+1}z^{2n-1}}{n+1} \), come faccio a stabilire la regione in cui vale? Mi basta solamente impostare \(\displaystyle 1+iz^2\ne0 \), oppure devo anche considerare il caso \(\displaystyle z\ne 0 \)

Com'è fatta, di solito, la regione di convergenza di una serie di Laurent?
Sul libro di teoria ci sarà scritto.

"claudio_p88":inoltre qual'è la parte regolare e quale quella singolare?

Che dice il tuo libro in proposito?

[claudio_p88]

la regione di convergenza se non erro è l'insieme definito dal raggio della serie, in questo caso però faccio un po' di fatica a calcolarmelo, in quanto c'è la parte immaginaria

[claudio_p88]

Allora ho fatto un po' di confusione, le disuguaglianze che ho impostato sono entrambe errate, ho qualche difficoltà a trovarmi il raggio della serie, inoltre la parte regolare della serie è la parte positiva, mentre quella singolare è quella negativa, la parte singolare quindi dovrebbe essere \(\displaystyle \frac{i}{z} \), mentre quella regolare \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{i^{n+1}z^{2n-1}}{n+1} \)

[claudio_p88]

per calcolarmi il raggio di convergenza, devo forse effettuare qualche sostituzione e poi procedere o con il criterio del rapporto o con il criterio della radice?

[xdom="gugo82"]Blocco per 24 ore.

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