[Esercizio] Sviluppo in serie di Laurent

[eKoeS]

Testo:

Si consideri la seguente funzione in campo complesso:

$ f(z) = e^(-1/z^2)/z $

Calcolarne le singolarità e esplicitarne lo sviluppo in serie di Laurent.

Svolgimento:

L'unico punto singolare per $ f(z) $ è $ a = 0 $ e la funzione è olomorfa (quindi analitica) $ AA z in CC - {0} $.

La singolarità è di tipo eliminabile, poiché:

$ lim_(z -> 0) f(z) = 0 = lambda $

A questo punto procedo con lo sviluppo in serie, ma ottengo un risultato che va a confutare tutte le assunzioni fin qui fatte, perché la serie che ottengo è:

$ sum_(k >= 0) (-1)^n / (z^(2k+1) * k! ) $

chiaramente priva della parte regolare. Dunque sembrerebbe che la singolarità sia di tipo essenziale e non eliminabile.

Note:

[*:3liid9p6]Programma del corso[/*:m:3liid9p6]
[*:3liid9p6]Dispense[/*:m:3liid9p6][/list:u:3liid9p6]


Qualcuno sa dirmi dov'è che sbaglio?

Grazie in anticipo,
Simone

[gugo82]

Non è vero che [tex]$\lim_{z\to 0} f(z) =0$[/tex]: infatti prendendo [tex]$z_n=\frac{1}{n}\ \imath$[/tex] (di modo che [tex]$\lim_n z_n =0$[/tex]) ottieni:

[tex]$f\left( \frac{1}{n}\ \imath \right) =n\ e^{n^2}\ \imath$[/tex],

sicché:

[tex]$\lim_n f\left( \frac{1}{n}\ \imath \right) =\infty$[/tex].