Esercizio sviluppo asintotico

[Ambuz]

Salve, ho dei dubbi per quanto riguarda questo esercizio:

Determinare lo sviluppo asintotico per \(\displaystyle x \rightarrow 0 \) dell'espressione \(\displaystyle \frac{1}{1-x^2+2x^3+x^4+O(x^5)} \)[/list:u:7zkrceki]

Ho provato a risolverlo in questo modo e penso sia corretto ma continuo ad avere dei dubbi:



[*:7zkrceki]Per iniziare ho bisogno di trovare uno sviluppo noto, i quali funzionano per \(\displaystyle x \rightarrow 0 \) che è già dato nel testo. Lo sviluppo noto più intuitivo è sicuramente quello di \(\displaystyle \frac{1}{1+x} \) [/*:7zkrceki]

[*:7zkrceki]Pongo \(\displaystyle t = -x^2+2x^3+x^4+O(x^5) \) e la mia funzione diventa quindi \(\displaystyle \frac{1}{1+t} \) il cui sviluppo corrisponde a \(\displaystyle 1−t+t^2−t^3+...+(−1)^nt^n+o(t^n)\)[/*:7zkrceki]

[*:7zkrceki]Ad occhio noto che probabilmente mi conviene sviluppare fino a \(\displaystyle t^2 \) dato che, nel caso in cui sviluppassi fino a \(\displaystyle t^3 \) il più piccolo dei valori ottenuti nello sviluppo alla terza sarebbe \(\displaystyle -x^6 \) che verrebbe inglobato da \(\displaystyle O(x^5) \)?[/*:7zkrceki]

[*:7zkrceki]Sostituisco quindi il valore di \(\displaystyle t \) nello sviluppo ed ottengo \(\displaystyle 1-(-x^2+2x^3+x^4+O(x^5))+(-x^2+2x^3+x^4+O(x^5))^2+o((-x^2+2x^3+x^4+O(x^5))^2) \) [/*:7zkrceki]

[*:7zkrceki]Effettuo i conti, tralasciando eventuali valori che sarebbero inglobati da \(\displaystyle O(x^5) \) \(\displaystyle 1+x^2-2x^3-x^4-O(x^5)+x^4 = 1+x^2-2x^3-O(x^5) \)[/*:7zkrceki]

[*:7zkrceki]Ora viene il mio dubbio visto che non mi pare normale vedere un valore \(\displaystyle -O(x^5) \)... Dovrei considerarlo \(\displaystyle +O(x^5) \) a prescindere dal fatto che nell'espressione precedente ci sia un - a cambiare di segno? Dovrei tenere in considerazione qualche proprietà degli o piccoli / O grandi che al momento mi sfugge? Oppure semplicemente ho sbagliato procedimento / conti? [/*:7zkrceki]
[/list:u:7zkrceki]

Vi ringrazio in anticipo per eventuali risposte

[dissonance]

E' lo stesso; \(O(\text{qualcosa})=-O(\text{qualcosa})\). Non importa il segno.

Comunque non puoi inglobare \(x^4\) in \(O(x^5)\), attenzione. Forse è solo un typo.

[Ambuz]

"dissonance":E' lo stesso; \(O(\text{qualcosa})=-O(\text{qualcosa})\). Non importa il segno.

Grazie mille!!

"dissonance":Comunque non puoi inglobare \(x^4\) in \(O(x^5)\), attenzione. Forse è solo un typo.

No in realtà avevo \(\displaystyle 1+x^2-2x^3-x^4-O(x^5)+x^4 \) , il \(\displaystyle +x^4 \) dopo \(\displaystyle -O(x^5) \) corrisponde all'unica parte che mi interessava dello sviluppo di \(\displaystyle t^2 \) quindi \(\displaystyle -x^4+x^4 \) si annullano e non avevo valori di \(\displaystyle x^4 \). Dovrebbe essere corretto giusto?

Un altro dubbio già che ci sono e ho riguardato tutti i conti \(\displaystyle o((-x^2+2x^3+x^4+O(x^5))^2) \) a cosa potrei farlo corrispondere avendo tutti quei termini al suo interno? Perché io ho considerato l'imprecisione più piccola che ho trovato nello sviluppo esplicitando il termine \(\displaystyle t \) e non ho quindi considerato nemmeno l'imprecisione di \(\displaystyle t^2 \) e \(\displaystyle o(t^2) \). Per quanto riguarda \(\displaystyle o(t^2) \) mi è chiaro come potrei valutare l'imprecisione, invece non mi è chiaro come valutare l'imprecisione del quadrato all'interno dell'o piccolo.

[dissonance]

Ah si, \(x^4\) si annulla, va bene.

Per quanto riguarda l'altra domanda, non capisco esattamente cosa vuoi sapere, hai svolto correttamente l'esercizio. Perché vuoi mischiare O grandi e o piccoli? Mi sembra un ottimo sistema per sbagliare. Usa solo gli O grandi, se vuoi il mio consiglio, io li trovo più maneggevoli.

[Ambuz]

"dissonance":Per quanto riguarda l'altra domanda, non capisco esattamente cosa vuoi sapere

Mi pare di aver capito che generalmente in quel genere di esercizi, nel momento in cui viene specificato un o piccolo oppure O grande all'interno del testo, quasi sempre il valore dell'o piccolo dello sviluppo noto non verrà preso in considerazione perché inglobato da un o piccolo / O grande esplicitato in precedenza tramite lo sviluppo (come accade appunto in questo caso).

Quello che non mi è chiaro, che capisco non sia utile a livello dell'esercizio e potrebbe portare a soluzioni errate, è a cosa dovrebbe corrispondere \(\displaystyle o((-x^2+2x^3+x^4+O(x^5))^2) \).

Corrisponde ad un o piccolo del termine con il minor esponente, in questo caso \(\displaystyle o(x^4) \)?

Oppure non posso ridurre in nessuno modo i termini al suo interno in quanto somme e rimane semplicemente \(\displaystyle o((-x^2+2x^3+x^4+O(x^5))^2) \) il quale so dallo sviluppo noto essere sicuramente una imprecisione che verrà inglobata nell'imprecisione esplicitata in \(\displaystyle t \) visto che (in questo caso) era già presente una imprecisione nel testo del mio esercizio?

Perché mi è chiaro il ragionamento base su chi ingloba chi nel caso di o grandi e o piccoli con un singolo termine al loro interno ma vedendo quell'o piccolo pieno di somme di termini mi è venuto questo dubbio e non saprei come confrontarlo rispetto ad altri.

Spero di essere stato più chiaro riguardo al mio dubbio

[dissonance]

Mi sembra una cosa complicata che non vale la pena chiedersi. Meglio fare altri esercizi. Prendendo la mano, questi dubbi spariscono.

[Ambuz]

Capito, continuerò a fare esercizi allora!

Grazie per il supporto