Esercizio sull'uniforme continuità

[goblin303]

Salve a tutti,mi sono bloccato dinanzi a questo esercizio sull'uniforme continuità,il seguente:
(sin(log(2+x^2)))^2
Mi richiede di valutarne l'uniforme continuità in R.
Allora io ho ragionato applicando le varie condizioni sufficienti,la prima è che sia effettivamente prolungabile nell'intorno di +infinito e -infinito. Ma non capisco se effettivamente il limite esista,in quanto so che lim per x-->infinito del seno di x non esiste.
Potete aiutarmi?

[Frink1]

A occhio direi che è Lipshitziana, la derivata prima infatti dovrebbe essere limitata (e il suo max vale come costante di Lipshitzianità). Lipshitzianità $\Rightarrow$ Uniforme Continuità, quindi...

[goblin303]

Noi le funzioni lipshiziane non le abbiamo fatte. Mi sono accorto anch'io che la derivata è limitata e quindi dovrebbe essere uniforme continua,ma se non esiste il limite agli estremi da quanto ho capito cade ogni ipotesi di uniforme continuità,o mi sbaglio?

[Frink1]

Non direi, seno e coseno sono entrambe uniformemente continue senza che esista il limite agli estremi della loro derivata. L'importante è la limitatezza: per non usare la Lipshitzianità, saprai che se una funzione è derivabile con derivata limitata su un convesso, allora è uniformemente continua.

[goblin303]

Mi spiego meglio, se ad esempio avessi la funzione (logx)sin(1/x) e devo valutarne l'uniforme continuità tra (0,+infinito) valuto subito che il limite x-->0+ della seguente funzione non esiste. E quindi non è uniformemente continua. O sbaglio?

[Frink1]

Ma la derivata di quella funzione è limitata? Non direi! Attento a non confondere la limitatezza della derivata prima con la limitatezza della funzione di partenza.

[goblin303]

Quindi devo valutarne sempre e comunque la derivata? Grazie davvero per l'aiuto

[Frink1]

Quello della derivata è un metodo potente, quindi molto usato. Nulla vieta di verificarlo in altri modi.

[goblin303]

Va bene grazie davvero !
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