Esercizio sullo sviluppo di McLaurin

[hero_vale]

Ciao a tutti

Ho la seguente funzione

$ f(x) = sin^2(4x)-ln(1+16x^2)- lambda (x^5-x^4) $

Che sviluppata al quinto ordine in 0 secondo McLaurin viene

$ f(x) = (lambda +128/3)x^4-lambda x^5+o(x^5) $

Ora mi viene chiesto di determinare il valore del parametro $ lambda $ in modo tale che $ g(x) = o(x^4) $. So che il risultato è $ lambda =-128/3 $... ma non capisco perchè. Non dovrebbe venire $ g(x) = 128/3 x^5 + o(x^5) $ ?

Grazie

[hero_vale]

Nessuno ha un idea?

[otta96]

Non capisco perché la $f$ sia diventata una $g$, ma supponendo che quella sarebbe dovuta essere una $f$, cosa c'è che non ti torna? Non pensi che $128/3x^5+o(x^5)$ sia un $o(x^4)$? Qual è la definizione di $o(x^4)$?

[hero_vale]

Grazie per la risposta!

In pratica, considerando la definizione di o piccolo, dovrei fare il limite per $ xrarr 0 $ di $ (f(x) = 128/3x^5+o(x^5))/x^4 $ e verificare appunto che tenda a 0, giusto? In questo caso tende a 0 quindi f(x) è un o piccolo di $ x^4 $ per $ lambda =-128/3 $. Sbaglio?

[otta96]

No, non sbagli, quindi ora hai capito perché la risposta è quella?

[hero_vale]

Visto che $ lim_(x -> 0) (f(x))/x^4 = 0 $ con il parametro $ lambda $ uguale a $ -128/3 $, allora $ lambda =-128/3 $, generando un o piccolo di $ x^4 $, è la soluzione.

Grazie ancora dell'aiuto

[otta96]

Bene, perfetto e prego.