Esercizio sullo studio di serie di funzioni
Salve a tutti,
avrei un esercizio sulle serie di funzioni di cui non sono sicuro del risultato ottenuto.
Devo studiare la convergenza di: $ \sum_{n=0}^{\infty } \frac{(x-1)^{n}(n-1)^n}{n^{n}x^{n}} $
Grazie mille
Buona Giornata
avrei un esercizio sulle serie di funzioni di cui non sono sicuro del risultato ottenuto.
Devo studiare la convergenza di: $ \sum_{n=0}^{\infty } \frac{(x-1)^{n}(n-1)^n}{n^{n}x^{n}} $
Grazie mille
Buona Giornata
Risposte
Fai vedere cosa hai fatto .
Ciao,
Innanzi tutto ho raccolto l'esponente e ho diviso i membri così: $\sum_{n=0}^{\infty } {\frac{x-1}{x}}^{n} {\frac{n-1}{n}}^{n}$
Ho poi definito $\frac{x-1}{x} =y$
Infine studiando il raggio di convergenza ho visto che R=1.
Fatto ciò so con certezza che per |y|<1 ho convergenza. Questo comporta che x$ \in (\frac{1}{2} ,\infty)$.
Per studiare l'unico estremo possibile (x=1/2) applico Leibniz e vedo che in esso la serie diverge.
Innanzi tutto ho raccolto l'esponente e ho diviso i membri così: $\sum_{n=0}^{\infty } {\frac{x-1}{x}}^{n} {\frac{n-1}{n}}^{n}$
Ho poi definito $\frac{x-1}{x} =y$
Infine studiando il raggio di convergenza ho visto che R=1.
Fatto ciò so con certezza che per |y|<1 ho convergenza. Questo comporta che x$ \in (\frac{1}{2} ,\infty)$.
Per studiare l'unico estremo possibile (x=1/2) applico Leibniz e vedo che in esso la serie diverge.
Ricontrolla il raggio di convergenza, devi calcolare
$$\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{n-1}{n}\right)^{n}$$
Che non è $1$.
$$\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{n-1}{n}\right)^{n}$$
Che non è $1$.
"Mephlip":
Ricontrolla il raggio di convergenza, devi calcolare
$$\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{n-1}{n}\right)^{n}$$
Che non è $1$.
non è il limite della radice n-esima?
Hai ragione! Scusami la svista 
il resto mi sembra corretto, non è verificata la condizione necessaria per $x=\frac{1}{2}$ (questa volta a causa il limite che avevo scritto erroneamente prima 
).
il resto mi sembra corretto, non è verificata la condizione necessaria per $x=\frac{1}{2}$ (questa volta a causa il limite che avevo scritto erroneamente prima ).
Quindi confermate che ho svolto correttamente l'esercizio?
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