Esercizio sullle funzioni composte

[frankiep87]

Ciao a tutti
ho qualche difficoltà con questo esercizio:

Sia $ f: R^2 -> R $ una funzione di classe $ C^1 $ e si consideri la funzione

$ g(x)=f(x,e^x) $ $ con (x epsilon R) $

Dimostrare che g è derivabile e che $g'(0)= (partial f)/(partial v) (P) $ dove $ nu = (1,1) $ e $P=(0,1) $

Dato che $v=g'(o)$ e che $P=g(0)$ credo vada applicato il teorema di differenziabilità delle funzioni composte:

$ (f @ g) '(bar(x))=grad f(gamma (bar(x))) * gamma '(barx) $

però l'espressione di f non la conosco e quindi non ne so uscirne

[gabriella127]

Sì, bisogna applicare la regola di derivazione delle funzioni composte, ma non hai bisogno di conoscere esplicitamente la f.
$ g(x) $ è la composizione di una funzione da $ Rrarr R^2 $, $ xrarr (x,e^x) $ , e della funzione $ f:R^2rarr R, $ quindi è una funzione da $ Rrarr R, $ .
Calcolando $ g'(x) $ con la regola delle funzioni composte si ha:
$ g'(x)=(partial f)/(partial x) +(partial f)/(partial (e^x) )e^x $ .
Di qui puoi continuare l'esercizio (se non ho sbagliato, controlla! )

[frankiep87]

"gabriella127":
Calcolando $ g'(x) $ con la regola delle funzioni composte si ha:
$ g'(x)=(partial f)/(partial x) +(partial f)/(partial (e^x) )e^x $ .

non mi è chiaro come ci sei arrivata, potresti spiegarmelo?

[gabriella127]

E' la formula che hai scritto tu, la $ gamma $ in questo caso sarebbe $ gamma : x rarr (x,e^x) $ .
$ grad f(gamma (x))= ((partial f)/(partial x), (partial f)/(partial(e^x))) $ ,
cioè devi fare le derivate parziali di f ripetto ai suoi due argomenti, $ x $ e $ e^x $ .
Poi abbiamo la derivata di $ gamma (x): $
$ gamma' (x)= (1, e^x), $
e poi li moltiplichi.

[frankiep87]

"gabriella127":E' la formula che hai scritto tu, la $ gamma $ in questo caso sarebbe $ gamma : x rarr (x,e^x) $ .
$ grad f(gamma (x))= ((partial f)/(partial x), (partial f)/(partial(e^x))) $ ,
cioè devi fare le derivate parziali di f ripetto ai suoi due argomenti, $ x $ e $ e^x $ .
Poi abbiamo la derivata di $ gamma (x): $
$ gamma' (x)= (1, e^x), $
e poi li moltiplichi.

ok chiaro ma come arrivo a

"frankiep87":

Dimostrare che g è derivabile e che $ g'(0)= (partial f)/(partial v) (P) $ dove $ nu = (1,1) $ e $ P=(0,1) $

??

[gabriella127]

Non è difficile. Devo fare però prima attenzione all'aspetto teorico dell'esercizio. Ti viene chiesto di dimostrare la derivabilità di $ g(x)=f(x, e^x) $ . Questa viene dal Teorema di derivazione delle funzioni composte che dice che una funzione composta $ g(x)=f(gamma (x)) $ è derivabile in un punto se $ gamma (x) $ è derivabile e $ f $ è differenziabile. (L'ho scritto alla buona, riguardalo sul libro). Nel nostro caso $ f $ è di classe $ C^1 $ , quindi ha derivate prime continue e quindi è differenziabile (ricordi il teorema?). La nostra $ gamma $ è derivabile, quindi la nostra $ g(x) $ è derivabile.
$ g'(0) $ te lo scrivo più tardi, ora devo uscire, lo avevo già scritto ma il maledetto mi ha cancellato il messaggio e ho dovuto ricominciare daccapo

[gabriella127]

Comunque pensa alla rappresentazione delle derivate direzionali tramite il gradiente, è quello, prova a farlo tu prima, è meglio.
Spero di non avere scritto sciocchezze per la fretta