Esercizio sull'integrale definito

[dracula36]

ciao a tutti, sto cercando di risolvere questo integrale definito

$ int_1^3 sqrt(1+x)/x *dx $

ho provato con la sostituzione:

$sqrt(1+x) = t$
$t^2 = 1+x$
$x=t^2-1$
$dx=1/(2sqrt(1+x)) dt$
$dx=1/(2t) dt$

$int_1^3 t/(t^2-1)*1/(2t) dt$
$1/2int_1^3 1/(t^2-1) dt$


arrivato qui mi sono bloccato... mi date qualche consiglio?? forse sto sbagliando approccio?? grazie mille

[Mito125]

Spero sia corretto, ma l'ultimo integrale mi sembra un integrale notevole:

\(\displaystyle -\frac{1}{2} \int \frac{dt}{1-t^2} = -\frac{1}{4} \log|\frac{1+x}{1-x}| +c \) e poi calcoli nell'intervallo

[dracula36]

scusa ho dimenticato di postare il risultato
$ ln(9-6sqrt2)-2sqrt2+4 $

non mi sembra che si trova... tu che dici?? cmq grazie mille per l'aiuto che mi stai dando!

[Mito125]

Non avevo controllato i passaggi... Scusami... Però l'integrale dopo la sostituzione diventa:

\(\displaystyle 2\int \frac{t^2}{t^2-1} dt\) che risolvi scomponendo la frazione(divisione di polinomi)...

[dracula36]

scusa ma non mi trovo... la $2sqrt(t^2) $ è uguale a 2t e non $2t^2$... mi confermi?? grazie mille

[Mito125]

Prova a dirti come ho sostituito io:

\(\displaystyle t=\sqrt{1+x} \)
\(\displaystyle t^2 = 1+x \rightarrow x = t^2 -1 \)
\(\displaystyle dx = 2t dt \)

Sostituisci:

\(\displaystyle \int \frac{\sqrt{1+x}}{x} dx \rightarrow \int \frac{t}{t^2-1} 2t dt = 2\int\frac{t^2 dt}{t^2-1} \)

[dracula36]

ho provato a fare come dici tu, e mi escono due integrali

$ 2 int_1^3 t^2/(t^2-1)dt = 2int_1^3dt+2int_1^3 1/(t^2-1)dt $

ho fatto bene la divisione?? perchè mi esce sempre quell'integrale che non so integrare...

[Mito125]

Il secondo integrale è quello del logaritmo che ti ho detto prima cambiato di segno...