Esercizio sulle successioni ricorsive.

[serafila]

Ciao a tutti, qualcuno può risolvermi o darmi uno spunto per il primo esecizio di questo pdf:

http://www.math.unipd.it/~monti/A1_2012 ... re2012.pdf

Grazie a tutti

[chisigma]

La equazione alle differenze puo' essere scritta in modo cosi'...

$\Delta_{n}= a_{n+1}-a_{n} = \beta\ \frac{a_{n}^{2}}{1+a_{n}^{2}} - a_{n}= f(a_{n})$ (1)

In generale condizione necessaria perche' la sequenza $a_{n}$ converga ad un valore finito $x_{0}$ e' che $x_{0}$ sia un 'punto fisso attrattivo' di f(x), ovvero sia $f(x_{0})=0$ e $f'(x_{0})<0$. Occorre per prima cosa quindi trovare gli zeri di...

$f(x)= \beta\ \frac{x^{2}}{1+x^{2}} - x$ (2)

Esaminiamo i tre casi separatamente...

a) $0<\beta<2$

L'unico zero di f(x) e' $x_{0}=0$ e siccome e' anche $f'(x_{0})<0$ esso e' anche punto fisso attrattivo. Condizione sufficiente a questo punto perche' $a_{n}$ converga a 0 partendo da un valore iniziale $a_{0}$ e' che sia $|f(a_{0})|< 2\ |a_{0}|$ e questo e' verificato per ogni $- \infty< a_{0}< + \infty$. Ogni valore iniziale $a_{0}$ produce quindi una sequenza che converge a 0...

b) $\beta=2$

In tal caso f(x) ha uno zero semplice in $x_{0}=0$ che e' anche punto fisso attrattivo e uno zero di molteplicita' 2 in $x_{1}=x_{2}=1$ che non e' punto fisso attrattivo. Come nel caso precedente ogno valore iniziale $a_{0} \ne 1$ produce una sequenza che converge a 0...

c) $\beta>2$

In tal caso f(x) ha tre zeri in...

$x_{0}=0$

$x_{1}= \frac{\beta - \sqrt{\beta^{2}-4}}{2}$

$x_{2}= \frac{\beta + \sqrt{\beta^{2}-4}}{2}$

Qui $x_{0}$ e $x_{2}$ sono punti fissi attrattivi mentre $x_{1}$ e' 'punto fisso repulsivo'. Si avranno i segunti casi...

- ogni $0 < a_{0} < x_{1}$ produce una sequenza che converge a $x_{0}=0$...

- $a_{0}=x_{1}$ produce una sequenza costante che converge a $x_{1}$...

- ogni $a_{0}>x_{1}$ produce una sequenza che converge a $x_{2}$...

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$

[serafila]

Non capisco quando dici: qui x0 e x2 sono punti fissi attrattivi, mentre x1 è repulsivo, perché? E poi quando alla fine quando mi distingui i tre casi. Io avrei solo detto che c'è convergenza per i valori esterni alle radici x1,x2. Cioè vado a studiare quando a(n+1) <= a(n) ,

a²(n) - b a(n) + 1
--------------------------- >= 0 e quindi questa x² - bx + 1 >= 0 , quindi per i valori esterni.
1 + a²(n)

[gugo82]

Altra soluzione... Facendo finta di non conoscere tutte le birbonate sui punti fissi attrattivi e repulsivi.

Chiaramente, se \(a_0=0\) allora \(a_n=0\) per ogni \(n\); dunque in tal caso \((a_n)\) è la successione nulla e converge.

Pertanto nel seguito supponiamo \(a_0>0\). In tal caso è semplice provare per induzione (sfruttando la ricorrenza) che \(a_n>0\) per ogni \(n\).
Ora, puoi scrivere:
\[
a_{n+1} = \beta\ \left( 1-\frac{1}{1+a_n^2}\right)
\]
e la funzione \(f(x;\beta) := \beta\ \left( 1-\frac{1}{1+x^2}\right)\) è crescente strettamente per \(x>0\); ne consegue che, se per un certo indice \(\nu\) in poi hai \(a_{\nu+1}>a_\nu\) [risp. \(a_\nu >a_{\nu+1}\)] allora la stessa relazione si conserva per tutti i termini successivi.
Pertanto, le successioni generate dalla ricorrenza sono tutte o strettamente monotone o costanti, la loro monotonia essendo determinata dalla relazione che sussiste tra i primi due termini, i.e. tra \(a_0\) ed \(a_1\).
Pertanto per stabilire la monotonia di \((a_n)\) basta studiare la relazione che sussiste fra \(a_0\) ed \(a_1\): abbiamo:
\[
a_1= \beta\ \frac{a_0^2}{1+a_0^2}
\]
dunque, ad esempio, si ha:
\[
\begin{split}
a_1\geq a_0\quad &\Leftrightarrow \quad \beta\ \frac{a_0^2}{1+a_0^2} \geq a_0 \\
&\Leftrightarrow \quad \beta\ a_0^2\geq a_0(1+a_0^2) \\
&\Leftrightarrow \quad a_0(a_0^2-\beta\ a_0+1) \leq 0\\
&\Leftrightarrow \quad a_0^2-\beta\ a_0+1 \leq 0 \qquad \text{(perché } a_0>0 \text{)}\; ;
\end{split}
\]
il verificarsi di quest'ultima condizione è subrdinato al valore della costante \(\beta\): distinguendo un po' di casi si trova:

[*:1td1bi0v] se \(0<\beta <2\), allora la disuguaglianza \(a_0^2-\beta\ a_0+1 \leq 0\) non è mai soddisfatta, giacché il polinomio di secondo grado \(x^2-\beta x+1\) ha il discriminante \(<0\);

[/*:m:1td1bi0v]
[*:1td1bi0v] se \(\beta=2\), allora la disuguaglianza \(a_0^2-\beta\ a_0+1 \leq 0\) diventa \((a_0-1)^2\leq 0\) ed è soddisfatta (con uguaglianza!) solo se \(a_0=1\);

[/*:m:1td1bi0v]
[*:1td1bi0v] se \(\beta >2\), allora la disuguaglianza \(a_0^2-\beta\ a_0+1 \leq 0\) è soddisfatta solo se \(a_0\in [a,A]\), con:
\[
a= \frac{\beta - \sqrt{\beta^2 - 4}}{2} >0 \qquad \text{e} \qquad A=\frac{\beta +\sqrt{\beta^2 -4}}{2}>0\; ;
\][/*:m:1td1bi0v][/list:u:1td1bi0v]
conseguentemente abbiamo i seguenti fenomeni di biforcazione:

[list=1][*:1td1bi0v] se \(\beta \in ]0,2[\), la successione \((a_n)\), indipendentemente dalla scelta di \(a_0>0\), è strettamente decrescente;

[/*:m:1td1bi0v]
[*:1td1bi0v] se \(\beta=2\), la successione \((a_n)\) è:


[*:1td1bi0v]strettamente decrescente se \(a_0\neq 1\);

[/*:m:1td1bi0v]
[*:1td1bi0v]costante ed identicamente \(=1\) se \(a_0=1\);[/*:m:1td1bi0v][/list:u:1td1bi0v]

[/*:m:1td1bi0v]
[*:1td1bi0v] se \(\beta >2\), la successione \((a_n)\) è:


[*:1td1bi0v] strettamente crescente se \(a
[/*:m:1td1bi0v]
[*:1td1bi0v] costante se \(a_0=a\) oppure \(a_0=A\);

[/*:m:1td1bi0v]
[*:1td1bi0v] strettamente decrescente se \(a_0A\).[/*:m:1td1bi0v][/list:u:1td1bi0v][/*:m:1td1bi0v][/list:o:1td1bi0v]
Graficamente, possiamo fare il seguente diagramma di biforcazione:
[asvg]xmin=0; xmax=5; ymin=0; ymax=5;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="red"; plot("(x-sqrt(x^2-4))/2",2,6);
stroke="dodgerblue"; plot("(x+sqrt(x^2-4))/2",2,6);[/asvg]
in cui sulle ascisse leggiamo \(\beta\) e sulle ordinate \(a_0\). Il diagramma va interpretato come segue: tutti i punti \((\beta, a_0)\) appartenenti alla regione compresa tra i grafici delle funzioni \(a(\beta):=\frac{\beta -\sqrt{\beta^2 -4}}{2}\) (in rosso) ed \(A(\beta):=\frac{\beta +\sqrt{\beta^2 -4}}{2}\) (in azzurro) danno luogo a successioni \((a_n)\) strettamente crescenti; i punti \((\beta ,a_0)\) sui grafici di \(a(\beta)\) ed \(A(\beta)\) danno luogo a successioni \((a_n)\) costanti; e tutti i punti \((\beta ,a_0)\) della regione al di fuori dei grafici di \(a(\beta)\) ed \(A(\beta)\) danno luogo a successioni \((a_n)\) strettamente decrescenti.

Abbiamo così completamente descritto la monotonia delle successioni \((a_n)\) ottenibili dalla ricorrenza; tuttavia si può dire ancora qualcosa di puù preciso. In particolare, usando la ricorrenza, si può vedere che se \(\beta >2\) allora risulta:
\[
a(\beta) < a_0 \]
e parimenti:
\[
\begin{split}
0 a_0 >A(\beta) \qquad &\Rightarrow \qquad \forall n\in \mathbb{N},\ a_n>A(\beta)\; .
\end{split}
\]

Ora, sappiamo che ogni successione ottenuta dalla ricorrenza è monotona, dunque dotata di limite \(l\).

Nel caso di successione costante, sappiamo già dire chi è il limite: in particolare, per ogni \(\beta\), se \(a_0=0\), \(l=0\); invece, per \(\beta \geq 2\): se \(a_0=a(\beta)\), allora \(l=a(\beta)\); se \(a_0=A(\beta)\) allora \(l=A(\beta)\).

Nel caso di successione strettamente decrescente, il limite \(l\) è necessariamente finito, giacché come detto all'inizio si ha sempre \(a_n>0\); per calcolare tale limite, basta tener presente che esso deve necessariamente soddisfare l'equazione di punto fisso:
\[
l=\beta\ \frac{l^2}{1+l^2} \quad \Leftrightarrow \quad l=0\ \text{oppure}\ l^2-\beta l+1=0\; ;
\]
di nuovo distinguiamo i casi:


[*:1td1bi0v] se \(0<\beta <2\), allora l'unica soluzione possibile è \(l=0\);

[/*:m:1td1bi0v]
[*:1td1bi0v] se \(\beta >2\) allora l'equazione di punto fisso ammette tre soluzioni, i.e. \(l=0\), \(l=a(\beta)\) ed \(l=A(\beta)\); ma la successione \((a_n)\) è decrescente solo se \(0A(\beta)\), quindi:


[*:1td1bi0v] se \(0
[/*:m:1td1bi0v]
[*:1td1bi0v] se \(a_0>A(\beta)\), allora \(l= A(\beta)\), perché essendo \(a_n>A(\beta)\), è \(l\geq A(\beta)\).[/*:m:1td1bi0v][/list:u:1td1bi0v][/*:m:1td1bi0v][/list:u:1td1bi0v]

Nel caso di successione strettamente crescente, allora \(l\) è finito perché valgono le limitazioni \(a(\beta)< a_n

Cita

Segnala

[chisigma]

Per saperne di piu' sui 'punti fissi attrattivi' e sui 'punti fissi repulsivi' puo' essere utile il seguente articolo che ho scritto circa una anno fa su un sito in lingua inglese...

http://www.mathhelpboards.com/f15/diffe ... /#post2492

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$