Esercizio sulle successioni di funzoni, help !!

[marthy_92]

Salve a tutti, ho dei dubbi su questo esercizio. Non riesco a capire come ragionare

Devo studiare la convergenza puntuale e uniforme di questa successione di funzioni definita a tratti


\( \surd n \) se 0 < x < 1/n

1 / \( \surd x \) se 1/n \( \leq \) x \( \leq \) 1

Ho dei dubbi sulla distinzione dei vari casi.
Fondamentalmente l'intervallo da studiare è ] 0, 1 ]. Quindi ho iniziato distinguendo il caso

x = 1 e il limite puntuale ( cioè il lim della successione per n --> + infinito mi viene 1)
Invece guardando il risultato del testo dice che per ogni x € ] 0, 1 ] il limite puntuale è 1 / \( \surd x \)
Perchè? Mi aiutate a capire quali sono i casi da distinguere? sono un pò confusa :/

[Zero87]

Perdona la puntualizzazione (è la seconda in pochi minuti a due utenti diversi, ma se lo scrivo è perché penso che occorra, no?).
Non capisco molto il testo; la tua successione è
${ (\sqrt(n) \qquad \qquad 0
Se così fosse, puoi notare che per $n->+\infty$ il secondo intervallo tende ad essere tutto $]0,1]$ e dunque il limite puntuale è il quello del secondo caso e cioè direttamente $1/\sqrt(x)$.

[marthy_92]

zero87 , niente di cui scusarti la mia successione è
√ n quando x è compreso tra 0 e 1/n
1/ √ x quando x è compreso tra 1/n e 1 (estremi INCLUSI)
forse hai sbagliato a digitare perchè nel primo caso hai scritto √ x e non √n.
Ad ogni modo, ti dispiacerebbe spiegarti meglio? Non ho capito il tuo ragionamento
puoi notare che per n→+∞ il secondo intervallo tende ad essere tutto ]0,1] e dunque il limite puntuale è il quello del secondo caso e cioè direttamente 1/√x.

[Zero87]

Comunque ho corretto, grazie.

"Marthy_92":Ad ogni modo, ti dispiacerebbe spiegarti meglio? Non ho capito il tuo ragionamento
puoi notare che per n→+∞ il secondo intervallo tende ad essere tutto ]0,1] e dunque il limite puntuale è il quello del secondo caso e cioè direttamente 1x√.

Vediamo, te lo rendo così: utilizzo una notazione un po' maccheronica.

Devi calcolare il limite della successione per $n->+\infty$, e fino a qui ok.

Quindi
$lim_(n->+\infty) f(x;n)$

Il problema è proprio nell'intervallo, per $n->+\infty$ abbiamo $1/n ->0$ quindi, detto proprio "maccheronicamente", la nostra successione, per $n->+\infty$ ha limite nei due casi

${(+\infty \qquad \quad "mai dato che otteniamo" 0
In altre parole, quando andiamo a calcolare il limite rispetto a $n$ la prima cosa che dipende da $n$ sono proprio gli intervalli: il primo diventa degenere e perde di consistenza mentre il secondo di espande fino a diventare $]0,1]$.
Come ho detto, questa è una soluzione "estiva", ma dovrebbe rendere l'idea.

[marthy_92]

ok zero87 ho capito . Quindi la convergenza è puntuale nell'intervallo ]0,1] e la funzione a cui converge la successione è la funzione \( \surd x \). E per quanto riguarda la convergenza uniforme? come devo procedere? Ovviamente è da ricercare solo in ]0,1] perchè qui c'è la convergenza puntuale. Il prof ci fa procedere stimando la quantità


sup | fn(x) - f(x) | per x € ]0,1] ove f(x) è la funzione \( \surd x \).


Ma non riesco a capire chi è la quantità | fn(x) - f(x) | in questo caso
Il libro dice : " Poichè la funzione \( \surd x \). non è limitata su ]0; 1], si ha che la successione (fn) non
converge uniformemente a f su ]0; 1]. "

[gugo82]

Riposto una risposta che avevo inserito ieri notte, ma è andata persa...

@ Marthy_92: Come detto da altri, la tua successione è:
\[
f_n(x) := \begin{cases} \sqrt{n} &\text{, se } 0< x\leq \frac{1}{n} \\
\frac{1}{\sqrt{x}} &\text{, se } \frac{1}{n}\leq x\leq 1\; .
\end{cases}
\]
Prova a disegnarne qualche elemento: ad esempio, per \(n=2\), \(n=5\), \(n=10\), \(n=20\) trovi:
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=0; ymax=5;
axes("","");
stroke="cyan"; strokewidth=2;
plot("x^(-0.5)",0.5,1); line([0,1.414],[0.5,1.414]);[/asvg]
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=0; ymax=5;
axes("","");
stroke="dodgerblue"; strokewidth=2;
plot("x^(-0.5)",0.2,1); line([0,2.236],[0.2,2.236]);[/asvg]
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=0; ymax=5;
axes("","");
stroke="blue"; strokewidth=2;
plot("x^(-0.5)",0.1,1); line([0,3.162],[0.1,3.162]);[/asvg]
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=0; ymax=5;
axes("","");
stroke="purple"; strokewidth=2;
plot("x^(-0.5)",0.05,1); line([0,4.472],[0.05,4.472]);[/asvg]
Come vedi, i grafici degli elementi della tua successione di funzioni sono un po' come dei fronti d'onda che avanzano da destra a sinistra, diventando sempre più alti vicino allo zero; d'altra parte, dopo che la cresta dell'onda ha passato un punto \(x\in ]0,1]\), in quel punto l'onda ha sempre la stessa "altezza". Quindi sembra che la successione numerica \(f_n(x)\) (per fissato \(x\in ]0,1]\)) si "stabilizzi" attorno ad un valore costante.

Cerchiamo di formalizzare questa intuzione.
Ricordato che \(1/n\to 0\) in maniera decrescente quando \(n\to \infty\), per la stessa definizione di limite in corrispondenza di un numero \(0 \nu\); ma allora dalla definizione di \(f_n\) segue immediatamente che:
\[
f_n(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}
\]
per \(n>\nu\); di conseguenza:
\[
\lim_n f_n(x) = \lim_n \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}\; .
\]
Conseguentemente, la successione di funzioni di termine generale \(f_n\) converge in \(]0,1]\) verso la funzione:
\[
f(x):=\frac{1}{\sqrt{x}}
\]
il cui grafico è rappresentato in figura.
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=0; ymax=5;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("x^(-0.5)",0.001,1);[/asvg]

La convergenza finora studiata è quella puntuale; ora devi studiare la convergenza uniforme.
Comincia a farti un'idea di quanto valga il:
\[
\sup_{x\in ]0,1]} |f_n(x)-f(x)|\; \ldots
\]
Nota che la successione \(f_n\) è crescente rispetto a \(n\), nel senso che, per ogni fissato \(x\in ]0,1]\), risulta \(f_n(x)\leq f_{n+1}(x)\); quindi hai certamente:
\[
f_n(x)\leq \lim_n f_n(x)=f(x)
\]
per ogni indice \(n\) identicamente in \(]0,1]\)... Ma allora è:
\[
|f_n(x)-f(x)| = f(x)-f_n(x) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}} -\sqrt{n} &\text{, se } 0 0 &\text{, se } \frac{1}{n}\leq x\leq 1
\end{cases}
\]
ed è molto semplice calcolare chi è il \(\displaystyle \sup_{x\in ]0,1]} |f_n(x)-f(x)|\).

[marthy_92]

mmmm come faccio a capire che fissato x € ] 0, 1 ] risulta che
x∈]0,1], risulta fn(x)≤fn+1(x) ?
Inoltre, nello studio dell'estremo superiore della quantità così fatta
\( f(x) - fn(x) = \begin{cases} (1/\surd x)- \surd n , se 0 come faccio a capire chi è l'estremo superiore? considerando che x € ]0,1] ?
credo di dover prendere il primo caso e fare la derivata della funzione
\( 1/(\surd x)-\surd n \)
giusto? ho le idee un pò confuse

[gugo82]

"Marthy_92":mmmm come faccio a capire che fissato x € ] 0, 1 ] risulta che
x∈]0,1], risulta fn(x)≤fn+1(x) ?

Comincia a confrontare qualche grafico... Poi prova a ragionare sulle definizioni: in particolare, come è definita per casi la funzione \(f_{n+1}-f_n\)? PEr caso essa è positiva?

"Marthy_92":Inoltre, nello studio dell'estremo superiore della quantità così fatta
\( f(x) - fn(x) = \begin{cases} (1/\surd x)- \surd n , se 0 come faccio a capire chi è l'estremo superiore? considerando che x € ]0,1] ?
credo di dover prendere il primo caso e fare la derivata della funzione
\( 1/(\surd x)-\surd n \)
giusto?

Comincia a fare qualche disegno, poi vedi cosa devi fare analiticamente per confermare la tua intuizione.