Esercizio sulle serie svolto correttamente ?

[Oiram92]

Ciao a tutti torno alla carica con un nuovo esercizio sulle serie che spero di aver svolto bene..

$ sum_(n = 1)^(oo) (arctan(n^2)+ n ln(n))/(n^2 + 1) > sum_(n = 1)^(oo) (n ln(n))/(n^2) = sum_(n = 1)^(oo) (ln(n))/(n) $

per il confronto asintotico la confrontiamo con $ 1/n $
e poichè il limite di
$ sum_(n = 1)^(oo) (ln(n))/(n)* n = +oo $

allora poichè la seconda serie diverge, allora divergerà pure la prima.

[EDIT] Risolto il problema con le formule [/EDIT]

[Noisemaker]

il risultato è corretto

[Oiram92]

Grazie se adesso riesco a fare le serie lo devo solo a te !!
Ti ringrazio tantissimo per tutto l'aiuto che mi hai dato, sei riuscito a chiarirmi le idee in un solo topic (non so se te lo ricordi)
Ci si sente

[Noisemaker]

bene!

[giuscri]

"Oiram92":per il confronto asintotico la confrontiamo con $ 1/n $
e poichè il limite di
$ sum_(n = 1)^(oo) (ln(n))/(n)* n = +oo $

Questo verifica invece proprio che le due diverse serie non sono asintotiche -il loro rapporto non è pari a 1, ma diverge.

"Oiram92":allora poichè la seconda serie diverge, allora divergerà pure la prima.

Questo varrebbe nel caso in cui le due serie fossero davvero asintotiche -ma non è questo il caso.

Io proseguirei con la minorazione che hai fatto all'inizio. Ti dice niente la serie che segue? \[\sum \frac{1}{n^p \log^qn} \text{ con p, q $\in$ $\mathbb{R}$} \] Se si, dovresti poter concludere

[Noisemaker]

allora , ha scritto male le cose ma
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\arctan n^2+n\ln n}{n^2+1}
\end{align}

è una serie a termini positivi, e dunqne è possibile applicarci il criterio più opportuno relativo a tali serie;

[*:8xhy6lv4] confronto asintotico:
\begin{align}
\frac{\arctan n^2+n\ln n}{n^2+1}\sim \frac{\frac{\pi}{2}+n\ln n}{n^2 }\sim \frac{ n\ln n}{n^2 }=\frac{ \ln n}{n }\to\mbox{non converge}
\end{align}[/*:m:8xhy6lv4]
[*:8xhy6lv4] col confronto"puro"
\begin{align}
\frac{\arctan n^2+n\ln n}{n^2+1} >\frac{ n\ln n}{n^2 +1}\sim \frac{ n\ln n}{n^2 }=\frac{ \ln n}{n }\to\mbox{non converge}\end{align}[/*:m:8xhy6lv4][/list:u:8xhy6lv4]
dunque per il confronto essendo il termine generale maggiore di qualcosa che diverge, non potrà che diverge.

[Oiram92]

"giuscri":Questo verifica invece proprio che le due diverse serie non sono asintotiche -il loro rapporto non è pari a 1, ma diverge.

Se non sbaglio (almeno sul mio libro trovo questa definizione), affinchè due serie abbiano stesso carattere, il
$ lim_n (a(n))/(b(n)) != 0 $
quindi non deve necessariamente essere $ 1 $
per lo svolgimento, si mi sono espresso male, ma il concetto è giusto

[giuscri]

"Oiram92":[quote="giuscri"]Questo verifica invece proprio che le due diverse serie non sono asintotiche -il loro rapporto non è pari a 1, ma diverge.

Se non sbaglio (almeno sul mio libro trovo questa definizione), affinchè due serie abbiano stesso carattere, il
$ lim_n (a(n))/(b(n)) != 0 $
quindi non deve necessariamente essere $ 1 $
per lo svolgimento, si mi sono espresso male, ma il concetto è giusto [/quote]
Falso ... Controesempio: \(a_n = \frac{1}{n^3}\), \(b_n = \frac{1}{n^2}\). Il limite del loro rapporto è zero, ma le somme di \(a_n\) e quelle di \(b_n\) convergono.

[Oiram92]

se il limite del rapporto tra le due serie è zero, allora :
Se $ sum_n bn -> converg e , sum_n an ->converg e $
Se $ sum_n an -> diverg e , sum_n bn ->diverg e $

Avevo scritto infatti che il limite non doveva essere $ 0 $

Ti posto il teorema completo

Si abbiano due serie a termini positivi, allora :
se $ lim_n (a(n))/(b(n)) $

$ != 0 $ le serie hanno stesso carattere
$ = 0 $ Se $ sum_n b(n) -> converg e , sum_n a(n) converg e $ oppure $ se sum_n an -> diverg e , sum_n bn ->diverg e $
$ = +oo $ Se $ sum_n a(n) -> converg e , sum_n b(n) converg e $ oppure $ se sum_n bn -> diverg e , sum_n an ->diverg e $
[/list:u:1mdgrtly]