Esercizio sulle Serie (particolare)
Ciao a tutti, e' la prima volta che scrivo, spero di scrivere tutto in modo da rispettare le regole del forum 
Ho un problema con un esercizio, ho un grosso problema di impostazione, in rete nn ho trovato esercizi simili da cui prendere spunto.
Il testo dell'esercizio dice: Si determini un numero n0 tale che dal rango n0 in su (per tutti n>=n0),
$ 1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + ...... + 1/[n(n+1)] >15/16 $
Non so proprio come procedere, su internt trovo solo limiti delle serie e esercizi simili e nulla di questa tipologia. Grazie a tutti in aniticipo per la disponibilità.
Ho un problema con un esercizio, ho un grosso problema di impostazione, in rete nn ho trovato esercizi simili da cui prendere spunto.
Il testo dell'esercizio dice: Si determini un numero n0 tale che dal rango n0 in su (per tutti n>=n0),
$ 1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + ...... + 1/[n(n+1)] >15/16 $
Non so proprio come procedere, su internt trovo solo limiti delle serie e esercizi simili e nulla di questa tipologia. Grazie a tutti in aniticipo per la disponibilità.
Risposte
Ricorda che [tex]$\tfrac{1}{k(k+1)}=\tfrac{1}{k}-\tfrac{1}{k+1}$[/tex], quindi:
[tex]$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} =1-\frac{1}{n+1}$[/tex]...
Se vuoi cercare qualcosa, cerca serie telescopica su Google.
[tex]$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} =1-\frac{1}{n+1}$[/tex]...
Se vuoi cercare qualcosa, cerca serie telescopica su Google.
Quindi io ho
$ 1- 1/(n+1)$ pero' cosi man mano che n aumenta il risultato diminuisce, io devo trovare un n0 tale che preso un n>no e' verificata la condizione di >15/16 o sbaglio?
$ 1- 1/(n+1)$ pero' cosi man mano che n aumenta il risultato diminuisce, io devo trovare un n0 tale che preso un n>no e' verificata la condizione di >15/16 o sbaglio?
Ma come diminuisce... Guarda bene.
si hai ragione aumenta perche' e'
$ 1/1-1/2+1/2-1/3+.... +1/k -1/(k+1)> 15/16$ pero' io nn ho capito come trovo il k dal quale vale la relazione di > 15/16...
$ 1/1-1/2+1/2-1/3+.... +1/k -1/(k+1)> 15/16$ pero' io nn ho capito come trovo il k dal quale vale la relazione di > 15/16...
si pure io sono in crisi, ho lo stesso tipo di esercizio al compito di lunedi e non so proprio come procedere!! Qualche buon'anima mi illlumini please!! grazie
grazie
Come diceva gugo, bisogna notare che [tex]$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}$[/tex]
Tu vuoi trovare il minimo $n$ tale che $sum_{k=1}^n 1/(k*(k+1))>15/16$
Ciò è equivalente a trovare il minimo $n$ tale che $1-1/(n+1)>15/16$
( e questo direi che non è troppo difficile, è una disequazione in una incognita)
Tu vuoi trovare il minimo $n$ tale che $sum_{k=1}^n 1/(k*(k+1))>15/16$
Ciò è equivalente a trovare il minimo $n$ tale che $1-1/(n+1)>15/16$
( e questo direi che non è troppo difficile, è una disequazione in una incognita)
Grazie mille finalmente ho capito, pensavo fosse molto piu' contorto cmq viene n>15. Grazie ancora a tutti
Ed 1/n>5 ???? questo non saprei proprio come procedere!!
Ma le disequazioni insegnano ancora come risolverle? 
Non è così banale perchè l'esercizio chiede quando la sommatoria di 1/n diventa maggiore di 5! Quindi facendo i calcoli con la calcolatrice deve venire n=82! non so proprio come impostare la disequqzione!
Se non ho capito male, si vuole trovare il minimo $n in NN$ tale che $sum_(k=1)^n 1/k >5$
Così, su due piedi, non mi viene in mente molto.
Penso che non esista una forma chiusa per dire quanto vale, precisamente, quella quantità.
C'è solo una formula approssimata: $sum_(k=1)^n 1/ksimlog(n)$, come riportato qui
Così, su due piedi, non mi viene in mente molto.
Penso che non esista una forma chiusa per dire quanto vale, precisamente, quella quantità.
C'è solo una formula approssimata: $sum_(k=1)^n 1/ksimlog(n)$, come riportato qui
@sdavide84: Tra scrivere [tex]$\tfrac{1}{n}\geq 5$[/tex] e [tex]\sum_{k=1}^n \tfrac{1}{k} \geq 5[/tex] c'è una bella differenza, non trovi?
Ad ogni modo, dato che la funzione [tex]$f(x):=\tfrac{1}{x}$[/tex] è decrescente in [tex]$[0,+\infty[$[/tex], si ha:
[tex]$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} =\sum_{k=1}^n \int_k^{k+1} \frac{1}{k}\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$\geq \sum_{k=1}^n \int_k^{k+1} \frac{1}{x}\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$=\int_1^{n+1} \frac{1}{x}\ \text{d} x=\ln (n+1)$[/tex]
e questa semplice minorazione ti aiuta a stabilire un upper bound per il minimo [tex]$n$[/tex] tale che [tex]\sum_{k=1}^n \tfrac{1}{k} \geq 5[/tex].
Poi non ti resta che fare due conticini con la calcolatrice.
P.S.: L'upper bound è [tex]$148$[/tex]; tuttavia si vede che la condizione richiesta è soddisfatta per [tex]$n\geq 83$[/tex].
Ad ogni modo, dato che la funzione [tex]$f(x):=\tfrac{1}{x}$[/tex] è decrescente in [tex]$[0,+\infty[$[/tex], si ha:
[tex]$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} =\sum_{k=1}^n \int_k^{k+1} \frac{1}{k}\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$\geq \sum_{k=1}^n \int_k^{k+1} \frac{1}{x}\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$=\int_1^{n+1} \frac{1}{x}\ \text{d} x=\ln (n+1)$[/tex]
e questa semplice minorazione ti aiuta a stabilire un upper bound per il minimo [tex]$n$[/tex] tale che [tex]\sum_{k=1}^n \tfrac{1}{k} \geq 5[/tex].
Poi non ti resta che fare due conticini con la calcolatrice.
P.S.: L'upper bound è [tex]$148$[/tex]; tuttavia si vede che la condizione richiesta è soddisfatta per [tex]$n\geq 83$[/tex].
beh, o sei un genio o sei il mio professore -.- !! calcola a chiunque facevo vedere questo esercizio non capiva niente!!! ti ringrazio all'infinito mi studio il tuo esercizio!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo