Esercizio sulle serie numeriche

[giigggio]

Il seguente esercizio chiede la convergenza semplice e assoluta della serie:

\(\displaystyle \begin{equation}
\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n (x^2-3x+2)^n n}{2^n (n^2 +4) \,
}
\end{equation}
\)

Il mio metodo di soluzione è il seguente:

Guardo se è c'è convergenza assoluta:

Applico il criterio della radice, quindi risulta dal limite la disequazione (perché secondo il criterio se risulta dal limite L<1 allora c'è convergenza)

\(\displaystyle \begin{equation} \frac{|x^2-3x+2|}{2}<1
\end{equation}
\)

Con risultato che la serie converge semplicemente e di conseguenza semplicemente per
\(\displaystyle \begin{equation} 0 \end{equation}
\)

Il criterio della radice, ci informa anche che il termine generale della serie non è infinitesimo per L>1, quindi per
\(\displaystyle \begin{equation} x<0, x>3
\end{equation}
\) la serie non converge né semplicemente, né assolutamente.

Per L=1 non ho informazioni, perciò manca da verificare a parte il caso di
\(\displaystyle \begin{equation} x=0 , x=3
\end{equation}
\)

Con x=0 ho:

\(\displaystyle \begin{equation}
\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n n}{2^n (n^2 +4) \,
}
\end{equation}
\)

Applicando Leibniz, la serie converge per $n >= 2$
e di conseguenza per $n >= 1$
ricavando da calcoli algebrici.

Invece per la convergenza assoluta con x=0, basta un semplice confronto per verificare che la serie diverge.

Per x=3 si ripetono gli stessi passaggi che sono stati fatti per x=0 e si nota che come prima la serie converge semplicemente e non assolutamente.

Ci dev'essere qualche problema nei miei calcoli perché la soluzione dice:
converge semplicemente (Leibniz), non converge assolutamente confronto.

Spero che qualcuno possa spiegarmi dove ho sbagliato..

[pilloeffe]

Ciao dodddo,

Benvenuto sul forum!

"dodddo":Con risultato che la serie converge semplicemente e di conseguenza semplicemente per
$0
Col risultato che la serie converge assolutamente e di conseguenza semplicemente per
$0

"dodddo":Con $x = 0$ ho: $sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n n}{2^n (n^2 + 4)}$

No, qui c'è un errore... Per $x = 0$ e per $x = 3$ si ha:

$sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n n}{n^2 + 4} $ [tex]\sim[/tex] $ sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n}$

ed è ben noto che l'ultima serie scritta converge semplicemente ma non assolutamente.

[giigggio]

Il primo errore era di battitura come hai intuito, mentre per quanto riguarda il secondo ho scritto quello che hai detto te, ovvero che la serie diverge assolutamente, ma converge semplicemente per $x=0$ e $x=3$. Forse avrei dovuto scrivere sulla prima riga della citazione che la serie converge semplicemente anziché converge e basta. In effetti ho sbagliato a scrivere la seconda serie, altro errore di scrittura, perdonatemi, era il mio primo messaggio

"dodddo":
Applicando Leibniz, la serie converge per $n >= 2$
e di conseguenza per $n >= 1$
ricavando da calcoli algebrici.

Invece per la convergenza assoluta con x=0, basta un semplice confronto per verificare che la serie diverge.

Per x=3 si ripetono gli stessi passaggi che sono stati fatti per x=0 e si nota che come prima la serie converge semplicemente e non assolutamente.

Comunque grazie del benvenuto

[pilloeffe]

"dodddo":In effetti ho sbagliato a scrivere la seconda serie, altro errore di scrittura, perdonatemi, era il mio primo messaggio

No problem , sei perdonato...

"dodddo":Comunque grazie del benvenuto

Prego!