Esercizio sulle serie di laurent

[fabyc1]

Salve a tutti, ho un problema nel risolvere questo esercizio sulle serie di laurent. Devo trovare, appunto, lo sviluppo in serie di laurent della seguente funzione $ f(z)=1/(z^2+z) $ nella corona $ 3<|z|<9 $ .

Allora il primo passaggio che ho fatto è quello di scomporre la funzione in fratti semplici e mi esce che $ f(z)=1/z-1/(z+1 $ , poi direi che il termine $ 1/z $ è già sviluppato, ma non riesco proprio a capire come faccio a sviluppare il secondo termine della corona che mi è stata data. Mi dovrei collegare a una serie del tipo $ \sum_{n=o}^infty z^n $ , ma come????

Grazie mille a chi mi risponderà

[Werner1]

Immagino tu voglia uno sviluppo intorno a 0, quindi hai che $1/z$ è a posto, è un termine della serie di Laurent, vale per ogni $z\neq 0$, mentre $1/{1+z}$ è analitica solo per $|z|<1$, quindi usiamo un trucco e raccogliamo uno $z$, ottieni $1/z 1/{1+1/z}$, adesso $1/{1+1/z}$ è analitica per $|z|>1$, perciò lo sviluppo in serie di taylor. Quello che sto facendo è sviluppare nell'intorn dell'origine degli oggetti che convergano a qualcosa quando li valuto nella tua corona, così trovo
$f(z)=1/z-1/z \sum_{k\geq 0} (-1/z)^k$ questo vale per ogni $|z|>1$

[fabyc1]

"Werner":$f(z)=1/z-1/z \sum_{k\geq 0} (-1/z)^k$ questo vale per ogni $|z|>1$

Grazie mille per avermi risposto, io infatti ero arrivata a questa conclusione solo che siamo sicuri che questo sviluppo vale anche nella mia corona (cioè per $ 3<|z|<9 $ ) ????

[Werner1]

Se vale per ogni $|z|>1$ direi proprio di si, inoltre tu non hai singolarità a parte lo 0 e -1, quindi la tua funzione è analitica ovunque per $|z|>1$. In linea di massima dovrebbe funzionare