Esercizio sulle serie di funzioni
Ciao a tutti!
La settimana prossima ho l'esame di Analisi III (Laurea in matematica), e rifacendo degli esami vecchi sono arrivata a un esercizio sulle serie che mi ha lasciata spiazzata:
$Sum_(n=1)^(+oo) (1+x)^log(n+5)$ con x>-1
(bisogna studiarne la convergenza puntuale, totale e uniforme)
Ora, che per x compresa fra 0 e +oo (incluso lo 0) la serie diverga si dimostra facilmente (maggiorandola con $Sum_(n=1)^(+oo) (1+x)^n$, che diverge se l'argomento non è in modulo minore di 1.
Immagino che fra -1 e 0 la serie converga, perché dubito che il mio prof abbia dato un es in cui in realtà non c'è da studiare la conv totale e uniforme,però non so davvero che pesci pigliare! I criteri della radice e del rapporto non funzionano, non riesco a minorarla o maggiorarla in modo opportuno perché mi pare che logx sia la funzione tra quelle note che va più lentamente a infinito, e anche cercando di integrarla mi viene qualcosa di mostruoso che non so proprio come fare!!!
Help!!
La settimana prossima ho l'esame di Analisi III (Laurea in matematica), e rifacendo degli esami vecchi sono arrivata a un esercizio sulle serie che mi ha lasciata spiazzata:
$Sum_(n=1)^(+oo) (1+x)^log(n+5)$ con x>-1
(bisogna studiarne la convergenza puntuale, totale e uniforme)
Ora, che per x compresa fra 0 e +oo (incluso lo 0) la serie diverga si dimostra facilmente (maggiorandola con $Sum_(n=1)^(+oo) (1+x)^n$, che diverge se l'argomento non è in modulo minore di 1.
Immagino che fra -1 e 0 la serie converga, perché dubito che il mio prof abbia dato un es in cui in realtà non c'è da studiare la conv totale e uniforme,però non so davvero che pesci pigliare! I criteri della radice e del rapporto non funzionano, non riesco a minorarla o maggiorarla in modo opportuno perché mi pare che logx sia la funzione tra quelle note che va più lentamente a infinito, e anche cercando di integrarla mi viene qualcosa di mostruoso che non so proprio come fare!!!
Help!!
Risposte
Allora:
Innanzitutto modifichiamo la serie per renderla più "comprensibile": sostituiamo $y=1+x$ e scriviamo quindi $sum_(n=6)^(oo)y^lnn$ con $y>0$.
Ora, studiamo il carattere della serie $sum_(n=6)^(oo)y^lnn$. Per il criterio integrale, la serie converge (puntualmente) sse $int_6^(oo)y^lnndn$ converge. Risolviamo quindi l'integrale: $int_6^(oo)y^lnndn= (y^lnn n)/(ln(a)+1)|_6^(+oo)$ e calcoliamo $lim_(n->+oo)(y^lnn n)$.
Se $y>1$ chiaramente il limite fa $+oo$.
Se $y=1$ fa di nuovo $+oo$
Se $0
Abbiamo quindi risolto la convergenza puntuale: converge per $yin(0,1/e]$, cioè per $x in(-1,1/e-1]$
Studiamo la convergenza totale: a tale scopo calcoliamo, detti $f(y)=y^lnn$ e $I=(0,+oo)$, il $"sup"_(y in I)f(x)$.
$d/(dy)f(y)= y^(ln(n) - 1)ln(n)$ che è chiaramente $>0\quad AA y in I$, quindi è tutta crescente, quindi $"sup"=+oo$ e quindi la serie dei sup non può convergere. La serie quindi non converge totalmente su $I$.
Ma supponiamo di avere invece un compatto $[a,b]$ con $0
Spero sia chiaro (e corretto, ho fatto i conti velocemente)
Saluti
____________________________________________
Non scrivere "Sum" ma scrivi "sum" altrimenti non viene il simbolo di serie
Edit: Corretti errori
Innanzitutto modifichiamo la serie per renderla più "comprensibile": sostituiamo $y=1+x$ e scriviamo quindi $sum_(n=6)^(oo)y^lnn$ con $y>0$.
Ora, studiamo il carattere della serie $sum_(n=6)^(oo)y^lnn$. Per il criterio integrale, la serie converge (puntualmente) sse $int_6^(oo)y^lnndn$ converge. Risolviamo quindi l'integrale: $int_6^(oo)y^lnndn= (y^lnn n)/(ln(a)+1)|_6^(+oo)$ e calcoliamo $lim_(n->+oo)(y^lnn n)$.
Se $y>1$ chiaramente il limite fa $+oo$.
Se $y=1$ fa di nuovo $+oo$
Se $0
Abbiamo quindi risolto la convergenza puntuale: converge per $yin(0,1/e]$, cioè per $x in(-1,1/e-1]$
Studiamo la convergenza totale: a tale scopo calcoliamo, detti $f(y)=y^lnn$ e $I=(0,+oo)$, il $"sup"_(y in I)f(x)$.
$d/(dy)f(y)= y^(ln(n) - 1)ln(n)$ che è chiaramente $>0\quad AA y in I$, quindi è tutta crescente, quindi $"sup"=+oo$ e quindi la serie dei sup non può convergere. La serie quindi non converge totalmente su $I$.
Ma supponiamo di avere invece un compatto $[a,b]$ con $0
Spero sia chiaro (e corretto, ho fatto i conti velocemente)
Saluti
____________________________________________
Non scrivere "Sum" ma scrivi "sum" altrimenti non viene il simbolo di serie
Edit: Corretti errori
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo