Esercizio sulle serie di funzioni.

[miik91]

Salve a tutti. C è un esercizio sulle serie si funzioni che non riesco a capire come risolvere. Qualcuno potrebbe darmi una mano?? L esercizio è il seguente.

Determinare gli insiemi di continuità e derivabilità di f(x) e calcolarne la derivata.

[math]f(x)= \sum_{k=1}^ \infty \frac{(1-e^x)^n}{n^{\frac{3}{2}}} [/math]

Grazie a tutti in anticipo.

Aggiunto 3 ore 18 minuti più tardi:

ok ora provo, però prima potresti spiegarmi un paio di cose sull esercizio?? Determinare gli insiemi di continuità equivale a studiare dove la funzione converge uniformemente?? Mentre determinare gli insiemi di derivabilità equivale a studiare dove la serie delle derivate converge uniformemente???

Aggiunto 1 ore 51 minuti più tardi:

Ho provato a risolvere l esercizio come hai detto tu, e ho trovato che la serie converge uniformemente nell intervallo (-∞,ln(2)] per il criterio di Abel, o per il criterio di weirstrass se non eseguo la sostituzione. Quindi l insieme di continuità di f(x) è (-∞,ln(2)]??? Poi ho calcolato la serie delle derivate, ma a questo punto mi fermo perchè non riesco a dimostrare la convergenza uniforme in (-∞,ln(2)]...come devo fare???

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Beh per t=1 sostituendo ottendo una serie armonica generalizzata che converge, mentre per t=-1 ottengo una serie a termini alterni che se nn ho sbagliato i conti dovrebbe divergere per leibniz, quindi in conclusione l insieme di continuità è (-∞,ln(2)] giusto??

[ciampax]

Io farei questo: poni

[math]t=1-e^x[/math]

e studia la serie di funzioni

[math]g(t)=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{n^{3/2}}\cdot t^n[/math]

determinandone raggio di convergenza, dove converge uniformemente, ecc. Una volta noti questi fatti potrai usare i vari teoremi sulle serie (tipo Abel) che ti dicono se la funzione somma è continua e derivabile e dove essa lo sia (tutto in funzione di

[math]t[/math]

ovviamente). A quel punto, basta che ricordi la posizione fatta e scrivi le condizioni per la variabile

[math]x[/math]

.

Aggiunto 11 ore 38 minuti più tardi:

Basta ricordare il seguente fatto: la somma di una serie di funzioni continue risulta continua se la convergenza è uniforme. Allo stesso modo per le derivate.

Ora, il raggio di convergenza della serie è

[math]R=1[/math]

per cui la serie converge uniformemente su ogni compatto nell'intervallo

[math](-1,1)[/math]

(rispetto alla varibile

[math]t[/math]

) Su tali insiemi la funzione somma risulta continua e anche derivabile (ha lo stesso raggio di convergenza). Ritornando alla

[math]x[/math]

avrai le condizioni

[math]-1