Esercizio sulle serie

[MarkNin]

Salve a tutti,
qualcuno può suggerirmi un approccio per risolvere questa serie??

$ sum_(n = 1)^(+oo) 1/(n^2*2^n)(x^2 -2)^n $

a) determinare l'insieme I dei valori del parametro x per cui la serie converge
b)Sia $ f : I rarr RR $ , definita ponendo $ AA x in I : f(x)=sum_(n = 1)^(+oo)1/(n^2*2^n)*(x^2-2)^n $ , la funzione somma della serie assegnata, determinare f'(x)

Io ho provato con il metodo del rapporto dove:
$ L= lim_(n -> +oo) |ak+1|/|ak| $
quindi trovo:
$ lim_(n -> +oo) 1+n^2*2^n $
poi non so come procedere...e poi e tutto giusto fin qui???

Ringrazio anticipatamente quelli che risponderanno


EDIT: ah dimenticavo che ho posto anche $ y=(x^2-2) $

[poncelet]

Ciao, non so come giungi a quel risultato. Il criterio del rapporto ti da:
\[
\lim_{n \to +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n \to +\infty}\frac{2^{n}n^{2}}{(n+1)^{2}2^{n+1}}=\frac{1}{2}
\]
quindi il raggio di convergenza della serie \(\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n^{2}2^{n}}y^{n}}\) dove \(y=x^{2}-2\) è \(2\)

[Sk_Anonymous]

Probabilmente sbaglio, sto ancora studiandole queste cose...
Se \(x^2-2>0\), cioè se \(x<-\sqrt{2}, \space x>\sqrt{2}\) la serie è a termini positivi, quindi posso applicare i criteri vari.
Applico il Criterio della Radice.
\[
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \frac{1}{n^2 2^n} (x^2-2)^n}= \frac{1}{2} (x^2-2)
\]
e affinché converga deve essere
\[
\frac{1}{2} (x^2-2) < 1
\]
quindi \(-2 Se \(-\sqrt{2} \[
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \frac{1}{n^2 2^n} |x^2-2|^n}= \frac{1}{2} |x^2-2|
\]
da cui converge se \(|x^2-2|<2\) da cui, ricordando la condizione sopra, \(-\sqrt{2} Gli estremi con le radici sono compresi in quanto per quei valori converge (a 0, in quanto somma di termini identicamente nulli).
Gli estremi \(-2\) e \(2\) devo studiarli separatamente in quanto per tali valori ottengo il valore \(1\) nei limiti e quindi il teorema non mi dice niente.
\[
\frac{1}{n^2 2^n} ((\pm 2)^2-2)^n = \frac{1}{n^2 2^n} 2^n = \frac{1}{n^2}
\]
che notoriamente converge.
Dunque la serie converge se \(-2
Perdonate se avessi scritto qualche castroneria, ma è (per me) tardi e devo ancora studiarle per bene queste cose...